2.4等腰三角形的判定.

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1 2.4等腰三角形的判定

2 3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。简称“等腰三角形三线合一”
复习引入 等腰三角形有哪些特征呢？ A B C 1.等腰三角形的两腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中，等边对等角”； 3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。简称“等腰三角形三线合一” 4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的中垂线。

3 在ΔABC中， ∠ B= ∠ C， AB=AC成立吗？
复习 1.如图:ΔABC中,已知AB=AC, 图中有哪些角相等? ∠ B= ∠ C 在同一个三角形中等边对等角． ２．反过来： 在ΔABC中， ∠ B= ∠ C， AB=AC成立吗？

4 定理的证明： 已知: 如图,在△ABC中,∠B＝∠C. 求证: AB=AC.
等腰三角形的判定 　　如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 已知:　如图,在△ABC中,∠B＝∠C. 求证:　AB=AC. 分析:要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了. (同学们自已完成证明.)

5 等腰三角形有以下的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 用符号语言表示为： 在△ABC中，
　如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 简单地说；在同一个三角形中，等角对等边． 用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB.（在同一个三角形中，等角对等边．) 这又是一个判定两条线段相等根据之一.

6 练习1 在△ABC中, 已知∠A=40°,∠B=70°,判断△ABC是什么三角形,为什么?

7 练习2 如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°,则∠1= ,∠2= , 图中的等腰三角形有 A D 2 1 B C

8 基本应用 例1：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河宽（即A,B之间的距离）．这个方法正确吗？请说明理由．

9 例2：上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°， ∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离
解：∵∠NBC=∠A+∠C ∴∠C=80°- 40°= 40° ∴ BA=BC（等角对等边） ∵AB=20（12-10）=40 ∴BC=40 答：B处到达灯塔C40海里 N 北 C 80° B 40° A

10 基本应用 如果三角形一个角的外角平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形吗？为什么？
解：∠CAB是ΔABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，因为AD∥BC所以∠1=∠B ∠2=∠C，∠B=∠C，因此AB=AC，即ΔABC的是等腰三角形 A 1 D 2 B C

11 例3：如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E。判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由。
1 2 3 ┏ E

12 练习3： 如图，在△ABC中，AB=AC， ∠ 1 =∠2，则△ABD和 △ACD全等吗？为 什么？ A C B D

13 一点.过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA 的延长线于点R,则AR与AQ相等吗?请说明 理由.
4.如图，P是等腰三角形ABC的底边BC 上 一点.过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA 的延长线于点R,则AR与AQ相等吗?请说明 理由. R A C P B Q

14 练习5 1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断△ABD的形状,并说明理由? A B D C

15 练习5 2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，两底角的平分线BE和CD相交于点O，那么△OBC是什么三角形？为什么？ A D E O B

16 练习 已知:如图,DE ∥ BC, ∠ 1= ∠ 2.求证:BD=CE. ∵ ∠ 1= ∠ 2 (已知)
∴ AE=AD (在一个三角形中,等角对等边) ∵ DE ∥ BC (已知) ∴ ∠ 1= ∠ B, ∠ 2= ∠ C (两直线平行,同位角相等) ∴ ∠ B= ∠ C, ∴ AB=AC (在一个三角形中,等角对等边) ∴ AB-AD=AC-AE, 即：ＤＢ＝ＥＣ． 证明: A B C D E 1 2

17 小结 腰 三 角 形 1.两腰相等. 1.两边相等。 2.等边对等角, 2.等角对等边, 3. 三线合一。 4.是轴对称图形. 名称 图 形
图 形 概 念 性质与边角关系 判 定 等 腰 三 角 形 1.两腰相等. 1.两边相等。 有两边相等的三角形是等腰三角形。 A B C 2.等边对等角, 2.等角对等边, 3. 三线合一。 4.是轴对称图形.

18 开启 智慧 思考1:如图,在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB,请想想看,由以上条件,你能推导出什么结论?并说明理由. E G 如果EG∥BC？ A F C B

19 下例各说法对吗？为什么？ 等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等. 开启 智慧 思考2:
开启 智慧 思考2: 下例各说法对吗？为什么？ 等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等. A C B A C B A C B N M Q E ●● D ● P 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.

20 如图所示，已知下列两个 三角形，思考怎样把每个三角 形只剪一次，将它分成两个等 腰三角形？试一试，你一定会 成功的。 探究性问题 100 °
20 ° 60 ° 120° 20 ° 40 ° 100 ° 20 ° 60 ° 120° 20 ° 40 °

21 已知:如图,在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACE并交于点D,过F作 DF∥BE
开启 智慧 已知:如图,在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACE并交于点D,过F作 DF∥BE 则线段FG，BF，CG之间又会有什么关系？若有请写出关系式，并说明理由。

22 已知:如图,在△ABC中，BF、CF分别平分∠DBC、∠ECB并交于点F,过F作 DE∥BC 求证:DE=BD+CE
开启 智慧 已知:如图,在△ABC中，BF、CF分别平分∠DBC、∠ECB并交于点F,过F作 DE∥BC 求证:DE=BD+CE

23 试一试 已知:如图,在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB并交于点O,过点O作 OD∥AB, OE∥AC,BC=16,
求: △ODE的周长

24 作业: 课本第29页 1,2,3,4. 谢 谢 大 家