定理14.17:F[x]为域F上的多项式环, 商环F[x]/(p(x))是域, 当且仅当p(x)为F[x]上的不可约多项式。

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1 定理14.17:F[x]为域F上的多项式环, 商环F[x]/(p(x))是域, 当且仅当p(x)为F[x]上的不可约多项式。
反证,若p(x)可约,则存在h(x), g(x)F(x), 且0<degh(x),degg(x)<degp(x), 使得p(x)=h(x)*g(x) 因此h(x),g(x)(p(x)),即 (p(x))+h(x)和(p(x))+g(x)都不是F[x]/(p(x))的零元.但 ((p(x))+h(x))((p(x))+g(x))=(p(x))+h(x)g(x) =(p(x))+p(x)=(p(x))为F[x]/(p(x))的零元 而F[x]/(p(x))是域,无零因子.

2 (2) p(x)为F[x]上的不可约多项式,证明商环F[x]/(p(x))是域
首先可以知道F[x]/(p(x))是交换环.且有单位元(p(x))+1. 关键是考虑F[x]/(p(x)) 中每个非零元是否都存在逆元. 对F[x]/(p(x))中任意非零元(p(x))+r(x),其中degr(x)<degp(x), 利用p(x)不可约,可得(p(x),r(x))=aF*. 由定理14.9(2),存在s(x),t(x)F(x),使得 p(x)s(x)+r(x)t(x)=a 因此(p(x))+a-1t(x)是(p(x))+r(x)的逆元 推论14.4:Zp=Z/(p)为域当且仅当p为素数

3 例:讨论商环Z3[x]/(x4+1)是否为域。
x4+1=(x2+2x+2)(x2+x+2), 所以Z3[x]/(x4+1)不是域

4 Z3[x]/(x2+1) x2+1在Z3上不可约, Z3[x]/(x2+1)为域 Z3[x]/(x2+1) ={ax+b|a,bZ3} 共有9个元素 省略了(x2+1)。 常以这种简化的方式写商域中的元素 各非零元素的逆。 多项式关于某个不可约多项式模的逆的计算

5 x8+x4+x3+x+1是Z2上的不可约多项式。 Z2[x]/(x8+x4+x3+x+1)是域。 x6+x4+x2+x+1,x7+x+1Z2[x]/(x8+x4+x3+x+1) (x6+x4+x2+x+1)(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1) =x7+x6+1 (x6+x4+x2+x+1)Z2[x]/(x8+x4+x3+x+1) 其逆元是x7+x5+x4+x3+x2+x+1 方法：利用1=s(x)f(x)+t(x)g(x) 即1=s(x)(x6+x4+x2+x+1)+t(x)(x8+x4+x3+x+1) 实质是求s(x) 利用辗转相除法

6 x8+x4+x3+x+1=(x2+1)(x6+x4+x2+x+1)+x4
=(1+(x+1)(x2+x))((x6+x4+x2+x+1)-(x2+1)x4) +(x+1)x4 =(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+((x3+x+1)(x2+1) +(x+1))x4 =(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+(x5+x2)((x8+x4+x3+x+1)-(x2+1)(x6+x4+x2+x+1)) =((x3+x+1)+(x5+x2)(x2+1))(x6+x4+x2+x+1)+ (x5+x2)(x8+x4+x3+x+1) =(x7+x5+x4+x3+x2+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+ (x5+x2)(x8+x4+x3+x+1) 所以x6+x4+x2+x+1关于模x8+x4+x3+x+1的逆元是： x7+x5+x4+x3+x2+x+1

7 定理14.18:R为有单位元交换环,且R{0},则R为域当且仅当R只有平凡理想{0}与R
证明:(1)R是域.若R存在非平凡理想I, 则存在aI,a0. 因为R是域,所以存在a的逆元a-1R. 因为I是理想,所以有aa-1=1I 因此对任意rR,有r*1I, R=I (2)R只有平凡理想{0}与R, 对R的任一非零元a,证明存在逆元

8 三、环同态基本定理 定义14.16:设是环[R;+,*]到环[S;+',*']的同态映射,0'为S中的加法单位元,定义集合K()={xR|(x)=0'},称为同态下的核,或简称同态核Ker。 定理14.15:如果是环[R;+,*]到环[S;+',*']的同态映射, K()为其核, 则K()是R的理想,[(R);+',*']是[S;+',*']的子环。 证明:(1) K()是R的理想 (2) (R)是的子环

9 定理14.16(环同态基本定理)：如果为环R到环S的同态映射,K=Ker,则R/K同构于(R)。当是满同态时，则R/K同构于S。
(1)f(K+r)=(r) (2)验证这是映射，并且是同态的 2.证明f是双射

10 因时间关系，14.5整环与分式域不做介绍 例：证明R[x]/(x2+1)C, 这里的R为实数域 证明：用环同态基本定理。
作:R[x]C, (f(x))=f(i)C,其中i2=-1。这是一个环同态映射, 且为满射。 其中K()={f(x)R[x]|f(i)=0}。 根据实系数多项式的复根共轭原理知-i也是K()中多项式的根, 这样K()中多项式皆有因式x2+1, 即K()=(x2+1)。 由同态基本定理知R[x]/K()=(x2+1)C。 因时间关系，14.5整环与分式域不做介绍

11 第十五章 域 方程x2-2=0 有理数域内无解 扩充到实数域中则有解。 域扩张

12 §1 扩域 一、扩域 1. 扩域 定义15.1：当[F;+,*]是域,F‘F,F’,F'按F中的运算也是域时,称[F';+,*]是[F;+, *]的子域;也称F为F'的扩域;又称F是域F'的一个扩张。

13 [Q;+,]是实数域[R;+,]的子域, R是Q的扩域, 同理,复数域C 是实数域的扩张, 也是有理数域的扩张 [Z;+,]是Q的子环, 不是Q的子域。

14 定理15.1: 域K为F的扩域, 那么域K就是F上的线性空间。

15 K为F上的线性空间是指: (1)对任意的,,K有: +=+, +(+)=(+)+, 并且存在0K,使得+0=,存在K, 使得+=0 (2)纯量积定义: ①设1为域F的单位元,K,则有1*=*1= ②对任意的,K,F有 *(+)=(*)+(*), (+)*=(*)+(*) ③对任意的,F, K有*(*)=(*)* 证明:因为K是域,所以满足(1)中的4条. 因为F是K的子域,因此F的单位元就是K的单位元 K是域, *关于+满足分配律.

16 定义15.2：扩域K作为域F上的线性空间, 其维数称K关于F的扩张次数,记为[K:F]。当它是有限数n时, 称K是F的有限扩张或n次扩张;否则就称K为F的无限扩张。
例:复数域[C;+,]是实数域[R;+,]的扩张,(1, i)是它的一组基 C={a+ib|a,bR,i2=-1}, [C:R]=2 引进线性空间的目的是为了方便表示扩域中的元素。

17 例:Z5[x]是域Z5上的多项式环, K=Z5[x]/(x3+x+1) ={(x3+x+1)+a0+a1x+a2x2|a0,a1,a2Z5}
定理15.2:已知F为域,p(x)为F[x]中不可约多项式,degp(x)=n。令K=F[x]/(p(x)),则 [K:F]=degp(x)=n 定理15.3:已知L是K的有限扩域,K为F的有限扩域,则:[L:F]=[L:K][K:F]

18 [L:F]=[L:K][K:F] 在K=Z5[x]/(x3+x+1)与Z5之间不再有Z5的扩域 [L:Q]=4 [L:K]=2,[K:Q]=2,即[L:Q]=[L:K][K:Q]

19 2.单扩域 定义15.3:设K为F的扩域,任取K,记F()为K中包含F与的最小子域, 称F()是将添加于F而得的域, 或由在F上生成的域,有时也把它叫做F的单扩域。 例:复数域C是在实数域R上添加一个元素i的单扩域,i2=-1,即C=R(i)。

20 推广到一般情况:当F的扩域L为在F上添加k≥1个元素1,,k得到的,我们就把它记为L=F(1,,k)=F(1)(k-1)(k)。这k个元素作扩张的先后次序不影响最终结果。

21 补充：1.在Z2[x]上求x7+x+1关于多项式(x8+x4+x3+x+1)的逆。
作业: P ,31,32,35,36 P207 3,5,7 补充：1.在Z2[x]上求x7+x+1关于多项式(x8+x4+x3+x+1)的逆。 2.设A,B是环R的两个理想，并且BA。证明：(1)A/B是R/B的理想(2)(R/B)/(A/B)R/A。