实验2 数学建模初步.

Presentation on theme: "实验2 数学建模初步."— Presentation transcript:

1 实验2 数学建模初步

2 §2.1 什么是数学建模 模型是人们为了一定的目的,对客观事物的某一部分进行 简缩、抽象、提练出来的原型的替代物，它集中反映了原型 中人们所需要的那一部分特征。 数学模型可以描述为：为了认识客观对象在数量方面的特征, 定量的分析对象内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。 简而言之：为了定量地解决一个实际问题，从中抽象、归纳出来的数学表述。 我们所说的数学建模，包括模型的建立、求解、分析和 解释以及检验的全过程。

3 例1、甲乙两地相距750km，船从甲地到乙地顺水航行需30小 时，从乙地到甲地逆水航行需50小时，问船的速度是多少？
解. 设x，y分别表示船速和水速，列出方程 简化 现实对象 的信息 数学模型 验证 求解 求解得到 阐明 预测/解释 数学结论 上题包含了建立数学模型的基本内容： ⑴简化假设：航行中的船速和水速为常数； ⑵用符号代表有关的量 x代表船速，y代表水速； ⑶利用物理规律得到数学表述——二元一次方程； ⑷求解方程，得到 ⑸回答原问题，船速为20km/h； ⑹对于实际问题，以上结果必须用实际信息来检验。

4 概念 差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型
§2.2 数学建模实例 概念 差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型 变化＝未来值－现在值 未来值＝现在值＋变化 例2、抵押贷款买房 六年前，李红的父母筹借月利率为1%，每月还款880.87元的20 年贷款资金80000元买了房子，他们已经还款72个月，同时想知道他们 还欠多少抵押贷款，他们正在考虑用他们得到的一笔遗产来付清贷款。或者他们可以重新根据偿还期长短，以不同利率偿还抵押贷款。 解、设第k个月末的欠款余额为bk，则 一阶差分方程 b(72)= 元 李明60万买一套120平米的房子,首付18万，贷款32万，20年还清，月利率为6‰，问每月应还款多少钱？

5 文件名为：ex2t2.m format bank b0=80000; b(1)=1.01*b ; for k=1:239 b(k+1)=1.01*b(k) ; end plot(b); [[1:20]' ,b(12:12:end)'] disp(['b(72)=',num2str(b(72))]) grid on

6 例3、一年生植物的繁殖 设第k年的植物数量为XK ，则
数学建模 记一棵植物秋季产种的平均数为c，种子能够活过一个冬天的比例为b，一岁的种子能在春季发芽的比例为a1，未能发芽但又能活过一个冬天的比例仍为b，两岁的种子能在春季发芽的比例为a2，设c，a1，a2固定，而b可在一定范围内变化，设种子最多可以活过二个冬天。试考察这种植物数量的变化规律。 设第k年的植物数量为XK ，则 种子数 活过冬天 活过冬天 没有发芽 活过第2个冬天 2阶差分方程。 第1年春季发芽 设c=10, a1=0.5, a2=0.25, b=0.18~0.20, x0=100 编程讨论。 第2年春季发芽 结果分析: 可以看到,对于不同的b，植物数量xk 变化规律有较大差别

7 p=-a1*b*c;q=-a2*(1-a1)*c*b^2; x(1)=x0; x(2)=-p*x(1); for k=3:n
步骤1、先建立函数M文件exf12.m 步骤2、再建立命令式M文件，文件名为ex2t3 function y=exf12(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=-a1*b*c;q=-a2*(1-a1)*c*b^2; x(1)=x0; x(2)=-p*x(1); for k=3:n x(k)=-p*x(k-1)-q*x(k-2); end y=x'; n=20; k=(0:n)'; y1=exf12(100,n+1,0.18); y2=exf12(100,n+1,0.19); y3=exf12(100,n+1,0.20); round([k,y1,y2,y3]) plot([y1,y2,y3]);grid gtext('b=0.18');gtext('b=0.19');gtext('b=0.20');

8 2.3 线性常系数差分方程组 汽车租赁公司的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还，根据经验估计和市场调查，借还汽车的情况如下表所示，若公司开业时将600辆汽车平均分配给3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。 A B C 0.6 0.2 0.1 0.3 0.7 借 还

9 已知20世纪美国人口统计数据如下，试计算表2 中这些年份的人口增长率。
二 应用实例——人口增长率 已知20世纪美国人口统计数据如下，试计算表2 中这些年份的人口增长率。 表2 20世纪美国人口统计数据 年份 人口(.106) 又已知某地区20世纪70年代的人口增长率如表3，且1970 年人口为210（百万），试估计1980年的人口。 表3 某地区20世纪70年代人口增长率数据 年份 年增长率(%)

10 1 记时刻t 的人口为x(t)，人口相对增长率为
，记 1900—1990年的人口依次为 xk ，(k=0,1,...,n)，年增长率为rk 。 由三点公式可以得到： r = 0.0220 0.0166 0.0146 0.0102 0.0104 0.0158 0.0149 0.0116 0.0105 x=[ ]; r(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/20/x(1); for k=2:9 r(k)=(x(k+1)-x(k-1))/20/x(k); end r(10)=(x(8)-4*x(9)+3*x(10))/20/x(10); r

11 2 某地区20世纪70年代人口增长率如下表： 人口增长满足微分方程 和初始条件为x(0)= x0。 其解为 由于增长率r(t)为离散数据，故
2 某地区20世纪70年代人口增长率如下表： 表3 某地区20世纪70年代人口增长率数据 年份 年增长率(%) 人口增长满足微分方程 和初始条件为x(0)= x0。 其解为 由于增长率r(t)为离散数据，故 用数值积分计算： x0=210; r=[ ]/100; y=trapz(r)*2; %步长为2 x=x0*exp(y) x =

12 上机内容 1、某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%,每月还1000元,建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱,多少年才能还清?如果要10年还清,每月需还多少? 2、P41, 9. 3、思考题：P39，1

13 实验报告撰写 题：一老人60岁时将养老金10万元存入基金会,月利率0.4%,他每月取得1000元作为生活费,建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱?多少岁时基金用完,如果想用到80岁,问60岁时应存入多少钱? 一、数学建模 设第k个月末老人拥有养老金ak元，则 其中r为月利率，于是所求的差分方程为： 若基金想用到80岁，即基金每月末取1000元，取20年，以现在作为计算钱的时间点，则60岁时应存入钱为

14 二、编程求解： 编写命令式M文件，文件名为ex2xt2 clear;format bank;
a0=100000;r=0.004;a=1+r; a(1)=(1+r)*a0-1000;k=1; while a(k)>0 a(k+1)=(1+r)*a(k)-1000; k=k+1; end plot(a);grid; n=fix(k/12);m=mod(k,12);a=a'; disp(‘每岁末养老金的余额为：');[(1:n)',a(12:12:n*12)] disp(‘老人养老金用完时的年龄为：’);time=[num2str(n+60),‘ 岁 ’,num2str(m),‘ ¸’月'] B=0;p=1000; for i=1:240 p=p/(1+r);B=B+p; disp(‘若老人养老金想用到80岁，每月取1000元，则60岁时应存入银行的钱为:‘);money=[num2str(B),’元']

15 三、结果分析： 在命令窗口键入文件名，计算机运行结果为： >> ex2xt2 基金用完时老人的年龄为： 每岁末养老金余额为：
time = 70 岁 8 个月 每岁末养老金余额为： ans = 若老人想用到80岁，每月取1000元，则老人60岁时应存入的钱为： money = 元 三、结果分析： 老人60岁时存入10万元，每月取1千元，那么70岁零8个月时钱用完；若想用到80岁，则60岁时应存入 元。