圆周角.

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1 圆周角

2 圆心角：如∠BOA 圆内角：如∠BCA 圆外角：如∠BFA 圆周角：如∠BDA 动起来! 角的顶点在圆心 角的顶点在圆周上
是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢? 动起来!

3 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
圆心角: 顶点在圆心的角. 看清要点

4 画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角之间可能出现哪几种不同的位置关系?
回顾：圆心角等于它所对的弧的度数的一半。 猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角，它们之间有什么关系？ 大胆猜想

5 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 定理
化归 化归 分类讨论 完全归纳法 圆周角定理 数学思想

6 1、已知∠AOB＝75°，求： ∠ACB 2、已知∠AOB＝120°，求： ∠ACB 3、已知∠ACD＝30°，求： ∠AOB 4、已知∠AOB＝110°，求： ∠ACB

7 如图,OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，求证：∠ACB＝2∠BAC
如图, ⊙O的两条弦AB、CD相交于点M，弧DA:弧AC :弧BC :弧BD＝5 : 3 : 4 : 6，求证：AB⊥CD M D C B A O

8 推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 推论 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？

9 等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
O B A D E C 同弧所对的圆周角相等 如图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小 D C E B F A O 等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？ D C E O1 B F A O2 如图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？ 等圆也成立

10 重头戏 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。 F E D 重头戏

11 关于等积式的证明 似曾相识 经验： 证明等积式，通常利用相似； 找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；
如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB，弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PD C D P B A O 经验： 证明等积式，通常利用相似； 找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识； 似曾相识

12 重中之重 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 重中之重

13 一道嬗变的题目 AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的外接圆直径。 求证：AB·AC＝AE·AD。 经验： 构造直径上的圆周角，是常用的辅助线
F G 经验： 构造直径上的圆周角，是常用的辅助线

14 一变再变 1、已知：如图，ΔABC内接于⊙O，∠BAE＝∠CAD。 求证：AB·AC＝AE·AD。
2、已知：如图，ΔABC内接于⊙O，弦AE平分∠BAC交BC于D。 求证：AB·AC＝AE·AD。 图中有哪些相等的角？ 找出所有的相似三角形。 一变再变

15 3、已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。 滚瓜烂熟
1、已知：如图，在⊙O中，直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D。 求：BC，AD和BD的长。 O B A D C O A B C D E P 2、已知：A、B、C、D、E是圆周上的五等分点，AC、BD交于点P，求：∠APB的度数。 3、已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。 滚瓜烂熟

16 已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。

17 已知：如图，ΔABC的角平分线AD交△ABC的外接圆于E点，
O 已知：如图，ΔABC的角平分线AD交△ABC的外接圆于E点， 求证：AB·AC＝AE·AD。 若△ABC为等腰三角形，AB＝AC，过A作任一直线分别交BC和△ABC外接圆于D、E点，那么上述结论仍成立吗？试证明。

18 求证：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边。
若一腰AC与⊙O交于点E，连结DE。则DE与BD、DC有何关系？ΔDEC是什么三角形？它与ΔABC有何关系？ 若∠A＝40°。求弧BD，弧DE，弧EA的度数。 若ΔABC是等边三角形，则D、E分别是BC和AC的什么点？弧AE，弧DE与弧BD有何关系？请证明你的结论。 E

19 评价 1、你是否记得圆周角定理和三个推论？ 2、你觉得自己对这节书的掌握程度如何？
3、从这三节课的学习中，你能列出3条印象深刻的解题经验吗？ 4、你希望以后的数学课的课堂节奏加快还是减慢还是保持不变？ 5、你希望以后的数学课内容增加难度还是降低难度还是保持现状？ 6、你希望以后的数学作业量是增加还是减少还是保持现状？ 7、其它建议：