万有引力与航天 复习课.

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1 万有引力与航天 复习课

2 一、万有引力定律： 1.内容： 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比. 2.公式： Ｇ为引力常量，Ｇ＝6.67×10—11 3.G的测量： 卡文迪许扭秤，“称地球”实验。

3 4．万有引力定律的适用条件： （1）适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，可直接使用定律计算； （2）当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间距离； （3）当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力（此方法仅提供一种思路）。

4 二、万有引力与重力： 1.重力是万有引力的一个分力，物体随地球自转的向心力是万有引力的另一个分力。 a.在赤道上：万有引力的两个分力F 与mg在同一直线上，但两者大小不同，有； 如此则有，若地球自转角速度增大， 则重力减小，当 时，物体甚至飘起来。 ｂ．在两极： =0， =mg，重力与万有引力大小、方向都相同。 ｃ．在纬度为θ处，物体随地球自转所需向心力为 =mω2r，r=RCosθ,利用矢量运算法则可计算重力G。

5 问题一：质量为1kg的物体，在两极与赤道的重力之差为： 。
分析： ， 则， 。 2.一般情况下，由于 << mg，故认为 mg = ， a.地面附近： ，得 ； b.离地面高h处： ，得 ， 所以， 。

6 3.其它天体表面的重力加速度与上述规律相同。
问题二：（2003。全国）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大，，现有一中子星，观测到它的自转周期为T，问：该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。 分析：假设位于赤道处的一小物体质量为m，则当所需的向心力等 于万有引力时， ，M=ρV= πR3ρ， 联立可得：ρ= 。

7 三、万有引力与天体的运动： 1.基本方法：把天体的运动看作匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，即， ， 根据实际问题，要冷静思考，灵活运用关系式。 2.注意事项a：上面关系式中的两天体间距r与圆周运动轨道半径R不一定相同，如，双星问题。

8 问题三：（2004.全国理综）我们的银河系的恒星中大约 是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C作匀速圆周运动。由天文观察得其运动周期为T，S1到C点距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为 。 分析：（1）双星的周期、角速度相同；（2）为了求S2的质量，我们要把S1作为研究对象，分析S1的受力情况，即 ，解之得：

9 问题四：（2004.江苏）若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是：
A.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大 B.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小 C.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大 D.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小 分析：正确答案为BD 注意事项b：运行速度是轨道上的线速度，它随着半径的增大而减小，随着半径的减小而增大；则当轨道半径为地球半径时，卫星的运行速度最大。运行速度与发射速度不一样，由于人造卫星发射过程中要克服地球引力，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需的发射速度越大，则当轨道半径为地球半径时，卫星的发射速度最小。

10 注意事项c：三种宇宙速度都是指发射速度。
1.第一宇宙速度（环绕速度）：v1=7.9km/s，是人造卫星的最小发射速度，又是人造卫星的最大运行速度； 2.第二宇宙速度（脱离速度）：v2=11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度； 3.第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度；

11 注意事项d：区别赤道上随地球自转的物体、近地卫星与同步卫星：
半径R 周期T 向心力F 关系式 备注 赤道上物体 即为地 球半径 与地球自转周期相同，即24h 此处的万有引力与重力之差 在赤道上与地球保持相对静止 近地 卫星 可求得T=85min 此处的万有引力 离地高度近似为0，与地面有相对运动 同步 卫星 可求得距地面高度h≈36000km，约为地球半径的5.6倍 与地球自周期相同， 即24h 轨道面与赤道面重合，在赤道上空， 与地面保持相对静止

12 A、F1=F2>F3 B、a1=a2=g>a3 C、v1=v2=v>v3 D、ω1=ω3<ω2
补充习题1：地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1。绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略），所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2。地球的同步卫星所受的的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则 （ ） A、F1=F2>F B、a1=a2=g>a3 C、v1=v2=v>v3 D、ω1=ω3<ω2 D

13 补充习题2：（2004.福建.浙江）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。 答案：