例題11：計算 的一個近似值？.

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1 例題11：計算 的一個近似值？

2 例題11：計算 的一個近似值？ 想想看？34.6附近的什麼數，可以很容易 的被開根號出來，36應該是一個適當的數字。

3 解：令 有 ，且 利用 即 的近似值為 。

4 例題12：計算 的一個近似值？

5 例題12：計算 的一個近似值？ 想想看？29附近的什麼數，可以很容易的 被開立方根出來，27應該是一個適當的數字。

6 解：令 有 ，且 利用 即 的近似值為 3.074。

7 例題13：求 的一條直線近似？

8 例題13：求 的一條直線近似？ 想想看？3附近的什麼數，可以很容易的 被開根號出來，1+3應該是一個適當的數字。

9 解：令 ，且 利用 即 ，適用範圍在x=1附近。

10 上述的近似在x=1附近時所計算的誤差較小 即

11 例題13：求 的一條直線近似？ 解：令 ，且 利用 即 ，適用範圍在x=1附近。

12 上述的近似在x=1附近時所計算的誤差較小 即

13 例題13：求 的一條直線近似？

14 例題13：求 的一條直線近似？ 另解： 6+3也是容易被開根號出來的數字。 13+3也是容易被開根號出來的數字。 22+3也是容易被開根號出來的數字。 我們就以6+3為例來求解。

15 另解： 令 ，且 利用 即 ，適用範圍在 x= 6 附近。

16 例題14：求 的一條直線近似？

17 例題14：求 的一條直線近似？ 想想看？什麼數的自然指數，可以很容易 的被計算出來，0應該是一個適當的數字， 因為 。

18 解：令 ，且 利用 即 ，適用範圍在x=0附近。

19 總複習

20 我們可將 dy/dx 視為 dy 除以 dx，如此不僅可利用 dy 來求某些近似值的問題，往後在求某些微分與積分的問題時會更方便。

21 微分定義 設函數y = f(x)在x處可微分，則定義 dy = f’(x)dx ………………(1) 稱為y的微分，其中dx = Δx為任意實數。

22 上述dy為兩變數x與dx之函數，例如: d(x2 + 1) = 2xdx d(2x3 + 2x + 5) = (6x2 + 2)dx 若dx ≠ 0，以dx除(1)式，得

23 (1)式表示y = f(x)之微分，而(2)式表示y =
但在dx ≠ 0 之條件下，由(1)式可得(2) 式，由(2)式亦可得(1)式，我們稱求導函數 的方法為微分法，不過在那裏的”微分”， 是當作動詞用，而此處的微分則是名詞。

24 複習1. 設 y = (x2 + 1)10，求dy

25 複習1. 設 y = (x2 + 1)10，求dy 解:

26 複習2. 設 ，求dy

27 複習2. 設 ，求dy 解:

28 複習3. 設 ，求dy, 又當 x = , dx = 時 dy 之值為何?

29 複習3. 設 ，求dy, 又當 x = , dx = 時 dy 之值為何? 解:

30 複習3. 設 ，求dy, 又當 x = , dx = 時 dy 之值為何? 解:

31 複習3. 設 ，求dy, 又當 x = , dx = 時 dy 之值為何? 解:

32 設y = f(x) 為可微分函數，令dx = Δx ≠ 0，且當x 增至x + Δx 時，y 增為 y + Δy。因y + Δy = f (x + Δx)，故
Δy = f(x + Δx) – f(x) = f(x + Δx) – f(x)

33 複習4. 設 ，求當x = 3, Δx = 0.1時之y的增量Δy。 解:

34 以下討論Δy與dy的關係

35 因 故 即

36 因此，當 |Δx| 很小時，Δy (符號 為近似) 如令Δx =dx (甚小時)，則得 Δy dy dy為Δy的最佳近似值。

37 複習5. 試用微分法，求 之近似值

38 例5. 試用微分法，求 之近似值 解: 我們要作開立方的運算，故可設

39 例5. 試用微分法，求 之近似值 解:

40 練習題

41 練習1. 求下列各題已知函數之微分dy:

42 練習2. 已知 x 及Δx 之值，試求Δy及 dy:

43 練習3. 試用微分法求下列各題的近似值:

44 練習4. 一正方盒之邊長為12吋，其可能誤 差為0.1吋，則此盒子之體積的可能 誤差為多少?

45 練習5. 一個球的半徑為3吋，其可能誤 差為0.03吋，則此球的表面積之可 能誤差為多少?

46 本單元到此結束