第二篇 集合论 集合论是现代数学的基础。现代集 合论的观点已经渗透到数学分析、泛 函分析、概率、函数论以及信息论、

Presentation on theme: "第二篇 集合论 集合论是现代数学的基础。现代集 合论的观点已经渗透到数学分析、泛 函分析、概率、函数论以及信息论、"— Presentation transcript:

1 第二篇 集合论 集合论是现代数学的基础。现代集 合论的观点已经渗透到数学分析、泛 函分析、概率、函数论以及信息论、
第二篇 集合论 集合论是现代数学的基础。现代集 合论的观点已经渗透到数学分析、泛 函分析、概率、函数论以及信息论、 排队论等现代数学各个领域。

2 集合的概念在全书中都要用到。  借助集合基本概念，描述二元关系(第 四章)、函数(第五章) ；  若在集合引进一定的运算，则组成代 数系统(第六章) ；  既有一定的序结构，又有一定运算的 系统就是一个布尔代数(第七章) ；  如果有一个由结点构成的集合，又有 一个由边构成的集合，则它组成一个图(第 八章) 。

3 集合论基础 （第三章） 二元关系 （第四章） 函数 （第五章） 本篇主要包括如下内容： 本篇介绍集合论的基础知识，如集合运
二元关系 （第四章） 函数 （第五章） 本篇介绍集合论的基础知识，如集合运 算、性质、序偶、关系、函数、基数等。 它在计算机科学中有着广泛的应用。

4 第三章 集合论基础 本章主要介绍如下内容： 基本概念及集合的表示方法 集合间的关系 特殊集合 集合的运算 包含排斥原理
第三章 集合论基础 本章主要介绍如下内容： 基本概念及集合的表示方法 集合间的关系 特殊集合 集合的运算 包含排斥原理 本章的重点是集合的运算。

5 3-1 基本概念 1.集合与元素 集合是个最基本的、不能精确定义的概念。 集合：是由确定的对象(客体)构成的集体。用 大写的英文字母表示。
这里所谓“确定”是指：论域内任何客体，要么 属于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确 定的。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N表示自然数集合，2∈N，而1.5不属于N 写成(1.5∈N), 或写成 1.5N。

6 2. 有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合只给出朴素 的定义，以后再给出严格的形式定义。 有限集合：元素是有限个的集合。 如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个 数。例如，A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素是无限个的集合。 对无限集合的所谓‘大小’的讨论，以后再 进行。

7 3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括 号内。 例如，N={1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用句子(或谓词公式)描述元素 的属性。 例如，B={x| x是偶数} C={x|x是实数且2≤x≤5} 一般地，A={x|P(x)}, 其中P(x)是描述元素x的特性的谓词公式，如果论 域内客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则aA。

8 4. 说明 ⑴集合中的元素间次序无关紧要，但是必须是可 以区分的，即是不同的。例如 A={a,b,c,a}，B={c,b,a,}，则A与B是一样的。 ⑵本书中常用的几个集合符号的约定： 自然数集合N= {1,2,3,……} 整数集合I，实数集合R，有理数集合Q ⑶ 集合中的元素无任何限制，也可以是集合。 如下面的集合的含义不同： a： 张书记 {a}: 党支部(只有一个书记) {{a}}： 分党委(只有一个支部) {{{a}}}： 党委 (只有一个分党委) {{{{a}}}}： 市党委(只有一个党委)

9 3-2 集合间的关系 一.被包含关系(子集)  1.定义：A、B是集合，如果A中元素都是 B中元素，则称B包含A，A包含于B，也称
文氏图表示如右下图。 例如，N是自然数集合， R是实数集合，则NR 谓词定义： ABx(x∈Ax∈B) A B

10 2. 性质： ⑴ 有自反性，对任何集合A有AA。 ⑵ 有传递性，对任何集合A、B、C，有AB且 BC ，则AC。 ⑶ 有反对称性，对任何集合A、B，有AB且 BA ，则A=B。

11 二. 相等关系 1. 定义：A、B是集合，如果它们的元素完 全相同，则称A与B相等。记作A=B。 定理：A=B，当且仅当AB且 BA。 证明：充分性，已知AB且 BA，假设 A≠B，则至少有一个元素a,使得a∈A而 aB；或者a∈B而aA。如果a∈A而 aB， 则与AB矛盾。如果a∈B而aA，则与 BA矛盾。所以A=B。 必要性显然成立，因为如果A=B，则必有 AB且 BA。

12 谓词定义： A=BABBA x(x∈Ax∈B)x(x∈Bx∈A) x((x∈Ax∈B)(x∈Bx∈A)) x(x∈Ax∈B) 2. 性质 ⑴有自反性，对任何集合A，有A=A。 ⑵有传递性，对任何集合A、B、C，如果 有A=B且 B=C ，则A=C。 ⑶有对称性，对任何集合A、B，如果有 A=B，则B=A。

13 三. 真被包含关系(真子集)  1. 定义：A、B是集合，如果AB且A≠B， 则称B真包含A，A真包含于B，也称A是B 的真子集。记作AB。 谓词定义：ABA BA≠B x(x∈Ax∈B)x(x∈Ax∈B) x(x∈Ax∈B) (x(x∈Ax∈B)x(x∈Bx∈A)) (x(x∈Ax∈B)x(x∈Ax∈B))  (x(x∈Ax∈B) x(x∈Bx∈A))  x(x∈Ax∈B)  x(x∈BxA)

14 2. 性质 有传递性，对任何集合A、B、C，如果有 AB且 BC ，则AC。 练习题：设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下 面命题的真值。 ⑴ {a}∈A ⑵ ({a} A) ⑶ c∈A ⑷ {a}{{a,b},c} ⑸ {{a}}A ⑹ {a,b}∈{{a,b},c} ⑺ {{a,b}}A ⑻ {a,b}{{a,b},c} ⑼ {c}{{a,b},c} ⑽ ({c}A)(a∈Φ)

15 3-3 特殊集合 一.全集 E 定义：包含所讨论的所有集合的集合， 称之为全集，记作E。 实际上，就是论域。 它的文氏图如右图。
由于讨论的问题不同， 全集也不同。所以全集不唯一。例如， 若讨论数，可以把实数集看成全集。 若讨论人，可以把人类看成全集。 E

16 由于论域内任何客体x都属于E，所以x∈E为永
E={x| P(x)∨P(x)} 性质：对于任何集合A，都有AE。 二.空集 Φ 定义：没有元素的集合，称之为空集，记作Φ。 因为论域内如何客体x∈Φ是矛盾式，所以要用 一个矛盾式定义Φ。 Φ={x| P(x)∧P(x)} 性质： 1.对于如何集合A，都有ΦA。 因为x(x∈Φx∈A)为永真式，所以ΦA。

17 2.空集是唯一的。 证明 假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得 Φ1 Φ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得 Φ2 Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 三.集合的幂集(Power Set) 定义: A是集合，由A的所有子集构成的集合，称 之为A的幂集。记作P(A)或2A。 P(A)={B| BA} 例如， A P(A) Φ {Φ} {a} {Φ,{a}} {a,b} {Φ,{a},{b},{a,b}}

18 Ａ＝{a,b,c} 则 　 P(A)= {Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} C 3 C 3 1 C 3 2 C 3 |P(A)|＝ ＋ ＋ ＋ 性质： 1. 给定有限集合A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2n。 证明：因为Ａ有n个元素，故P(A)中元素个数为 C n 2 ＋…… 1 ＋ 而 (x+y)n= C n 2 ＋… 1 ＋ xn-1y xn-2y2 xn yn 令x=y=1时得 2n= C n 2 ＋…… 1 ＋ 所以|P(A)|= 2n |2A|= 2|A|= 2n

19 2进制下标中：0表示对应元素在子集中没出现；
幂集元素的编码： Ａ＝{a,b,c} 则 　P(A)= {Φ,{c},{b},{b,c},{a},{a,c},{a,b},{a,b,c}} A的八个子集分别表示成：B0,B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7 写成二进制:B000 ,B001,B010, B011, B100, B101, B110, B111, Φ {c} {b} {b,c} {a } {a,c} {a,b} {a,b,c} B000 B001 B010, B011 B100 B101 B110 B111 B0 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 2进制下标中：0表示对应元素在子集中没出现； 1表示对应的元素在子集中出现了. 又如Ａ＝{a,b,c,d} 子集 B9 = B1001 ={a,d} {a,c,d}= B1011 = B11 作业86页(4) (7 )

20 3-4 集合的运算 介绍五种运算：∩∪- ~  一.交运算∩ 1.定义：A、B是集合，由既属于A，也属于B的
谓词定义： A∩B={x|x∈A∧x∈B} x∈A∩B  x∈A∧x∈B 如果A∩B=Φ，则称A与B不相交。 A B A∩B

21 2.性质 ⑴ 幂等律 对任何集合A，有A∩A=A。 ⑵ 交换律 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 ⑶ 结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷ 同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸ 零律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB  A∩B=A。 前5个公式高中都学过，下面只证明⑹。

22 证明：A∩B=A  x(x∈A∩B x∈A)
x((x∈A∩B  x∈A)∧(x∈A x∈A∩B)) x((xA∩B∨x∈A)∧(xA∨x∈A∩B)) x(((x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧ (xA∨(x∈A∧x∈B)) x(((xA∨xB)∨x∈A)∧ (xA∨(x∈A∧x∈B))) x(T∧(T∧ ( xA∨ x∈B))) x( xA∨ x∈B) x(x∈Ax∈B)  AB

23 二.并运算∪ 1.定义：A、B是集合，由或属于A，或属于B的元素构成 的集合 ,称之为A与B的并集,记作A∪B。 例如A={1,2,3} B={2,3,4} A∪B={1,2,3,4} 谓词定义： A∪B ={x|x∈A∨x∈B} x∈A∪B  x∈A∨x∈B A B A∪B 2.性质 ⑴幂等律 对任何集合A，有A∪A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∪B=B∪A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

24 ⑷同一律 对任何集合A，有A∪Φ=A。 ⑸零律 对任何集合A，有A∪E =E 。 ⑹分配律 对任何集合A、B、C，有 A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。 A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。 ⑺吸收律 对任何集合A、B，有 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B) =A。 证明 A∪(A∩B)= (A∩E)∪(A∩B) (同一) = A∩(E∪B) (分配) = A∩E=A (零律) (同一) ⑻AB  A∪B=B。

25 1.定义：A、B是集合，由属于A，而不属于B的 元素构成的集合 ,称之为A与B的差集,或B对A的 相对补集，记作A-B。
三. 差运算- (相对补集) 1.定义：A、B是集合，由属于A，而不属于B的 元素构成的集合 ,称之为A与B的差集,或B对A的 相对补集，记作A-B。 例如A={1,2,3} B={2,3,4} A-B={1} 谓词定义： A-B ={x|x∈A∧x  B} x∈A-B  x∈A∧xB 2.性质 设A、B、C是任意集合，则 ⑴A-Φ=A ⑵ Φ-A=Φ ⑶A-A=Φ ⑷ A-BA A B A-B

26 ⑸AB  A-B=Φ ⑹(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) x∈(A-C)∧x(B-C) (x∈A∧xC)∧(x∈B∧xC) (x∈A∧xC)∧ (xB∨x∈C) (x∈A∧xC∧xB)∨ (x∈A∧xC∧ x∈C) x∈A∧xC∧xB x∈A∧xB∧xC (x∈A∧xB)∧xC x∈A-B∧xCx∈(A-B)-C 所以 (A-B)-C=(A-C)-(B-C)

27 ⑺A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ⑻ A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 证明：任取x∈A-(B∪C) x∈A∧x(B∪C)
x∈A∧(x∈B∨x∈C) x∈A∧(xB∧xC) (x∈A∧xB)∧(x∈A∧xC ) x∈A-B∧x∈A-C x∈(A-B)∩(A-C) 所以 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)) ⑼A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) ⑽ 但∪对- 是不可分配的，如A∪(A-B)=A 而(A∪A)-(A∪B)=Φ 注意:这不是分配律

28 1.定义：A是集合,由不属于A的元素构成的集合 , 称之为A的绝对补集,记作~A。 实际上~A=E-A。 例如，E={1,2,3,4}
四. 绝对补集 ~ 1.定义：A是集合,由不属于A的元素构成的集合 , 称之为A的绝对补集,记作~A。 实际上~A=E-A。 例如，E={1,2,3,4} A={2,3},~A={1,4} 谓词定义： ~A =E-A={x|x∈E∧x  A} = {x|x  A} x∈~A  xA 2.性质 设A、B、C是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶ ~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E ⑹A-B=A∩~B E ~A A

29 ⑺~(A∩B)=~A∪~B ⑻ ~(A∪B)=~A∩~B
这两个公式称之为底-摩根定律。 证明⑺：任取x∈ ~(A∩B) x∈ ~(A∩B) xA∩B(x∈A∧x∈B) (xA∨xB)x∈~A∨x∈~B x∈ ~A∪~B 　∴~(A∩B)=~A∪~B ⑼AB  ~B~A 证明： AB x(x∈Ax∈B) x(xBxA)x(x∈~Bx∈~A)  ~B~A

30 ⑽ ~A=B 当且仅当A∪B=E且 A∩B=Φ
x(x∈A∪Bx∈E)∧ (PTP) x(x∈A∩Bx∈Φ) (PFP) x(x∈A∪BT)∧x(x∈A∩BF) x(x∈A∪B∧(x∈A∩B)) x((x∈A∨x∈B)∧(x∈A∧x∈B)) x((x∈A∨x∈B)∧(xA∨xB)) x((xAx∈B)∧(x∈BxA)) x((x∈~Ax∈B)∧(x∈Bx∈~A)) x((x∈~Ax∈B) ~A=B

31 ={x|(x∈A∧xB)∨(x∈B∧xA)} AB=(A∪B)-(A∩B)
五. 对称差 1.定义：A、B是集合,由属于A而不属于B， 或者属于B而不属于A的元素构成的集合, 称之为A与B的对称差,记作AB。 例如A={1,2,3} B={2,3,4} AB={1,4} 谓词定义： AB=(A-B)∪(B-A) ={x|(x∈A∧xB)∨(x∈B∧xA)} AB=(A∪B)-(A∩B) A B AB E

32 证明： (A∩B)(A∩C) 2.性质 ⑴ 交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。 ⑵ 结合律 对任何集合A、B、C，有
(AB)C=A(BC)。 此式证明较繁，教材里有证明，这里从略。 ⑶ 同一律 对任何集合A，有AΦ=A。 ⑷ 对任何集合A，有AA=Φ。 ⑸∩对可分配 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C) 证明： (A∩B)(A∩C) = ((A∩B)∪(A∩C))-((A∩B)∩(A∩C)) = (A∩(B∪C))-(A∩B∩C) = A∩((B∪C)-(B∩C)) (∩对-分配) = A∩(BC)

33 但是∪对不可分配， 举反例： A∪(AB)＝A∪B , 而 (A∪A)(A∪B)＝A(A∪B)= (A∪B)-A A∪(AB)≠(A∪A)(A∪B) 本节掌握： 各个运算的谓词定义。 运算的性质的证明和应用。 作业： 第94页⑶d) ⑷ ⑸b) ⑹ ⑺c) ⑼

34 3-5. 包含排斥原理 这节主要解决集合的计数问题。 例如有A、B两个商店, A店经营1000种商品， B店经营
1200种商品，其中有100种商品两个商店都经营，问两个 商店共经营多少种商品？ 显然 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| 如果有ABC三个有限集合，则 |A∪B∪C|=|A∪B|+|C|-|(A∪B)∩C| =|A|+|B|-|A∩B|+|C|-|(A∩C)∪(B∩C)| =|A|+|B|-|A∩B|+|C|- (|A∩C|+|B∩C|-|A∩B∩C|) =|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| A B A∩B A∪B

35 ∪ ∩ ∑ 一般地，有n个有限集合A1, A2, ... An，则 = Ai － Aj ∩ + Ai∩Aj ∩Ak Ai
1≤i＜j≤n Aj ∩ + 1≤i＜j ＜k≤n Ai∩Aj ∩Ak ∩ Ai i =1 n + ……+ (-1)n-1

36 |E∪F∪J|=|E|+|F|+|J|-|E∩F|-|E∩J|-|F∩J|+|E∩F∩J|
例1 某个研究所有170名职工，其中120人会英语，80人会法语，60人会日语，50人会英语和法语，25人会英语和日语，30人会法语和日语，10人会英语、日语和法语。问有多少人不会这三种语言？ 解:令U为全集，E、F、J分别 为会英语、法语和日语人的集合。 |U|=170|E|=120 |F|=80 |J|=60 |E∩F|=50 |E∩J|=25 |F∩J|=30 |E∩F∩J|=10 |E∪F∪J|=|E|+|F|+|J|-|E∩F|-|E∩J|-|F∩J|+|E∩F∩J| = 120＋80＋60－50－25－30＋10＝165 |U-(E∪F∪J)|= =5 即有5人不会这三种语言。 E F J 10 U

37 例2.求1到1000之间不能被5、6、8整除的数的个数。 解.设全集 E＝{x| x是1到1000的整数} |E|=1000 A5、 A6、 A8是E的子集并分别表示可被5、6、8整除 的数的集合。x 表示小于或等于x的最大整数。 LCM(x,y):表示x,y两个数的最小公倍数。 (Least Common Multiple ) |A5 | = 1000 5 = 200 |A6 | = 1000 6 = 166 |A8 | = 1000 8 = 125 |A5 ∩ A6| = 1000 LCM(5,6) = 33 30 =

38 不能被5、6、8整除的数的集合为～(A5∪A6∪A8)
|~(A5∪A6∪A8)|=|E|－|A5∪A6∪A8| ＝ |E|－(|A5|+|A6|+|A8|－|A5∩A6|－|A5∩A8|－|A6∩A8| +|A5∩A6∩A8|) ＝1000－( －33－25－41＋8)＝600 |A5 ∩ A8| = 1000 LCM(5,8) = 25 40 = |A6 ∩ A8| = 1000 LCM(6,8) = 41 24 = |A5 ∩ A6 ∩ A8 |= 1000 LCM(5,6,8) = 8 120 =

39 例3.对24名科技人员掌握外语的情况进行调查结果如下：
英、日、德、法四种外语中，每个人至少会一种； 会英、日、德、法语的人数分别是13、5、10、9人； 同时会英、日语的有2人； 同时会英、法语的有4人； 同时会德、法语的有4人； 同时会英、德语的有4人； 会日语的人不会德语，也不会法语； 问这24人中，只会一种外语的人各是多少人？ 同时会英、法、德三种语言的人有多少人？ 解：设全集为U,E,F,G,J分别表示会英、法、德、日语人 的集合。又设 |E∩F∩G|=x 只会英、法、德、日一种外 语的人分别是y1, y2, y3, y4。 于是画出文氏图如下：

40 作业： P100 (4) b) |U|＝24, |E|=13 |J|=5 |G|=10 |F|=9 ,
|E∩F|=|G∩F|=|E∩G|=4 , |E∩J|=2 |F∪E∪G|=|F|+|E|+|G|-|F∩E|-|F∩G|-|E∩G|+|F∩E∩G| = |F∩E∩G|=20 +|F∩E∩G| |F∪E∪G|=20 +|F∩E∩G| 只会日语的人数为: | J|-|E∩J|=5-2 =3 得：|E∪F∪J|=|U|-3=24-3=21 所以|F∩E∩G|=x=21-20=1 于是最后得： y1= =4 y2= =2 y3= =3 y4=3 作业： P100 (4) b) E F G J x 4-x 2 y1 y2 y3 y4

41 本章小结： 1.掌握集合间三种关系的定义、谓词定义、证明方法。 2.掌握三个特殊集合，会求集合的幂集。 3.掌握集合的五种运算定义、计算方法及性质。 4.会用包含排斥原理解决集合计数问题.

42 下面上第三章的习题课

43 第三章 习题课 第86页(4)判断下面命题的真值： a)如果A∈B，BC ，则 A∈ C。
证明： T，因为BC ， A∈B，所以A∈ C。 b)如果A∈B，BC，则 AC 。 F，举反例A={1} B={{1}} C={{1},2} 满足A∈B, BC ，但是不满足AC (1∈A 但1C )。 c)如果AB，B∈C，则 A∈C。 F，举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}} 满足AB, B∈C ，但是AC 。 d)如果AB，B∈C，则 AC。 满足AB, B∈C ，但是不满足AC 。 e)、f) 的真值都为F，类似举反例。

44 (7)设A={Φ}， B=P(P(A)) a) 是否 Φ∈B？是否ΦB？ b)是否{Φ}∈B？是否{Φ}  B ？ c)是否{{Φ}}∈B？是否{{Φ}}B ？ 解：B=P(P(A)) =P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 可见a)、b)、c)中命题均为真。

45 第94页(3) 给定全集 N={1,2,3,4,…...} A={1,2,7,8} B={ i | i2<50 } C={i | i可被3整除，0i30 } D={ i |i=2k, ki+, 1k6 } 解. A={1,2,7,8} B={1,2,3,4,5,6,7} C={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} D={2,4,8,16,32,64} ~A={3,4,5,6,9,10,11,12...} c) B-(A∪C) ={1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30} ={4,5} d) (~A∩B)∪D={3,4,5,6}∪D={2,3,4,5,6,8,16,32,64}

46 (4) .证明 (A∩B)∪C=A∩(B∪C) iff CA.
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) =A∩(B∪C) (∵ CA ∴ A∪C=A) 必要性 已知(A∩B)∪C=A∩(B∪C) 任取 x∈C  x∈(A∩B)∪C  x∈A∩(B∪C)  x∈A 所以 CA. (5)b)证明 (A-B)-C=(A-C)-B 方法1.任取 x∈(A-B)-C  x∈(A-B)∧xC (x∈A∧xB)∧xC (x∈A∧xC)∧xB  x∈(A-C)∧xB  x∈(A-C)-B 所以(A-B)-C=(A-C)-B 方法2 (A-B)-C=(A∩~B)∩~C =(A∩~C)∩ ~B =(A-C)-B c)课堂已讲

47 (6) 计算Φ∩{Φ}=Φ {Φ}∩{Φ}= {Φ}
{Φ,{Φ}} -Φ={Φ,{Φ}} {Φ,{Φ}}-{Φ}={{Φ}} {Φ,{Φ}}-{{Φ}}={Φ} (7) 证明各式彼此等价。 c)A∪B=E, ~AB, ~BA. 证明. A∪B=E x(x∈A∪B x∈E) x(x∈A∪B) (因x∈E 为T) (PTP) x(x∈A∨x∈B) x(xAx∈B) x(x∈~Ax∈B)  ~AB 同理A∪B=E  ... x(x∈A∨x∈B) x(xBx∈A) x(x∈~Bx∈A)  ~BA 所以A∪B=E  ~AB  ~BA.

48 (9) .在什么条件下，下面命题为真？ a) (A-B)∪(A-C)=A 解.(A-B)∪(A-C)= (A∩~B)∪(A∩~C)=A∩(~B∪~C) = A∩~(B∩C)=A-(B∩C)=A 所以满足此式的充要条件是：A∩B∩C= Φ b) (A-B)∪(A-C)=Φ 解.(A-B)∪(A-C)= A-(B∩C)=Φ 所以满足此式的充要条件是：A  B∩C c) (A-B)∩(A-C)=Φ 解.(A-B)∩(A-C)= (A∩~B)∩(A∩~C)=A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C)=A-(B∪C)=Φ 所以满足此式的充要条件是: A  B∪C d) (A-B)(A-C)=Φ 解. 因为 当且仅当A=B ，才有AB=Φ 所以满足此式的充要条件是: A-B=A-C

49 P100 (4) b)一个班有50人，第一次考试得A的人数等于第
二次考试得A的人数，仅仅在一次考试中得A的学生总数 是40，有4个学生两次考试都没有得到A，问有多少学生 仅在第一次考试中取得A？问有多少学生仅在第二次考试 中取得A？问有多少学生两次考试中都取得A？ 解.设A1、 A2 分别表示在第一次和第二次得A的人的集合。 根据题意得: |E|=50, |A1|=|A2|, (|A1|-|A1∩A2|)+(|A2|-|A1∩A2|)=40 , 即 |A1|+|A2| -|A1∩A2|-|A1∩A2 | =40 , ∴2|A1| -2|A1∩A2|=40 ,…..(1) 又|E|-|A1∪ A2|=4,即50-|A1∪ A2|=4, ∴ |A1∪ A2|=50-4＝46 ∵ |A1∪A2|=|A1|+|A2|-|A1∩A2|＝2|A1| -|A1∩A2| ＝46….(2) (2)-(1)得： |A1∩A2| ＝6 …..(3) (两次得A为 6人) (3)代入(2)得： |A1|=(46＋6)/2=26 ∴ |A1|= |A2|=26 |A1|-|A1∩A2| =26-6=20 ,|A2|-|A1∩A2| =26-6=20 (仅一次得A)

50 补充题 1.A,B是有限集合, P(A)表示A的幂集,已知|A|=3, |P(B)|=64,|P(A∪B)|=256, 则|B|=( ), |A∩B|=( ),|A-B|=( ),|AB|=( )。 解. 由|P(B)|=64=26，得 |B|=6 由|P(A∪B)|=256＝28，得|A∪B|=8 由包含排斥原理得 |A∪B|=|A|+|B|－|A∩B| 得8＝3+6－|A∩B| ，所以 |A∩B|＝1 |A-B|=|A|－|A∩B|=3－ 1=2 |AB|=|A∪B|－|A∩B|=8－1=7

51 2.设F表示一年级大学生的集合,S表示二年级大学生的集合,M表示数学专业学生的集合,C表示计算机专业学生的集合,D表示听离散数学课学生的集合,G表示星期六晚上参加音乐会的学生的集合,H表示星期六晚上很迟才睡觉的学生集合,则将下面各个句子所对应的集合表达式分别写在句子后面的括号内: (1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课. ( ). (2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期六晚上去听音乐会的学生在星期六晚上很晚才睡觉。 ( ) (3) 星期六晚上的音乐会只有大学一、二年级的学生参加.( ) (4)除去数学专业和计算机专业以外的二年级的学生都去参加星期六晚上的音乐会.( ) CSD DG=H G  F S ~(MC)SG

52 第三章 集合论 到此结束