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第十一章 空間域上的壓縮與應用
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11.1 前言 11.2 四角片式的漸近圖形傳輸 11.3 灰階影像的S樹表示法 11.4 區塊的統計量計算 11.5 植基於S樹的區域分割
11.1 前言 11.2 四角片式的漸近圖形傳輸 11.3 灰階影像的S樹表示法 11.4 區塊的統計量計算 11.5 植基於S樹的區域分割 11.7 作業
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11.2 四角片式的漸近圖形傳輸 轉換MRPCA(Multiresolution Representation Polygonal Curve Approximation)問題成解一個NTTLS(Near-Toeplitz Tridiagonal Linear Systems)的問題 二層之間維持固定比例：給一 個控制點的多邊形曲線 ， 上的個控制點可表示為 。 上的控制點表示為 。 為 線段的中點所在。 和 彼此之間的點數比例為 。 圖11.1 和 的關係
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最小平均方差(Minimum Mean Square Error)：
PCA問題相當於如何決定 使得下式有最小值 (11.1) 式(11.1)中的 、 和 定義如下 式(11.1)的最小化原理相當於 的最小化。
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令 當 ； 當 (11.2) (11.3) 此處 令 (11.4) 則我們得到NTTLS的式子，如式(11.4)。
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將PCA問題所對應的式(11.4)擴充到QSA的問題上
的控制點個數為 的控制點個數之4倍：給一四角片構成的曲面 ，曲面上的 個控制點表示為 。 可表示為 。 令 為線段 的中點，而 為線段 的中點。又令 為線段 的中點。 圖11.2 和 的關係
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最小平均方差(Minimum Mean Square Error)：
QSA問題相當於如何決定 使得下式有最小值 (11.5) 式(11.5)中的 f1和 x 軸有關；f2和 y 軸有關，f3而和 z 軸有關，其中 f 的最小化等同於 f1 的最小化。
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令 ，我們得到 (11.6) 式(11.6)的 可由下式求得 補助定理11.1 所有的 係數， 和 ，可在 個浮點計算量之下完成。
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將式(11.6)中的左式重新整理後，可得 令 (11.7) 則式(11.6)可改寫為 (11.8) l 的範圍介於1到n之間，所以式(11.8)共有n個NTTLS待解。 補助定理11.2 一個NTTLS可在 個浮點運算花費下完成 的 求解。 補助定理11.3 式(11.8)可在 個浮點計算量下完成所有 的 求解。
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我們可利用求解出來的 ，進一步求得 的解集合。式(11.7)可表示為下式
(11.9) 由於k的範圍介於1到m之間，故式(11.9)共有m組NTTLS待解。 補助定理11.4 式(11.9)可在 個浮點計算花費下完成 的 求解。 定理11.5 我們花費 個浮點計算量可完成QSA問題的求解。 已知任兩相鄰的四角片曲面之間的控制點數量之比例為 ，所以求解MRQSA需花費 個浮點計算量。
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定理11.6 MRQSA問題可在花費 個浮點計算量下完成求解。
(b) (c) (d) 圖11.3 第一個四層的MRQSA之模懝
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11.3 灰階影像的S樹表示法 給一 大小的區塊如圖11.5所示。若該區被稱為同質(Homogeneous)區塊，則需滿足下式
(11.10) 和 ，上式中的 可依下列三個線性內插式求得 這裡 圖11.5 一個同質的區塊
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圖11.7 四分樹表示法 圖11.6 區塊分割圖 線性樹表： 顏色表： 圖11.8 S樹表示法
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11.4 區塊的統計量計算 頂端線段 代表從點 到點 之間。底端線段 代表從點
11.4 區塊的統計量計算 頂端線段 代表從點 到點 之間。底端線段 代表從點 到點 之間。左邊線段 代表從點 到點 之間。 代表從點 到點 之間的線段。 在這四個線段上，兩相鄰的像素間之灰階異動可表示如下 (11.11) 圖11.5 一個同質的區塊
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位於 的估計灰階值表示為 。從 到 的灰階異動可表示如下
(11.12) 從 到 的灰階異動可表示如下 (11.14)
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補助定理11.7 位於 的像素，其估計灰階值為 。 證明：位於 的估計灰階值為 (11.15) 根據式(11.15)，位於 的估計灰階值等於 從式(11.14)，可得到 證明完畢。
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補助定理11.8 區塊 的平均值為 。 證明：根據平均值的定義， 的平均值可計算如下 因此，我們得到 證明完畢。
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補助定理11.9 的估計灰階值之平方和等於 ，這裡 。 證明：
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從 令 ，則上式可改寫成 證明完畢。
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補助定理11.10 區塊的變異數等於 證明：區塊 的變異數可計算如下 利用補助定理11.9，我們得到 證明完畢。
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給定兩個待合併的區域A和B，若A和B可以合併的話，則需滿足下列二個條件：(1) 。(2)合併後的區域C，其 。這裡 和 為二個設定的門檻。
證明完畢。
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補助定理11.12 合併後的區域C，其變異數 。 證明： 證明完畢。
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綜合上述推演出來的結果，我們得到下列第一個主要結果。
定理11.13 任一區塊的平均值灰階值和變異數可在 時間內完 成；合併後的區域，其平均灰階值和變異數亦可在 的時間內完成。
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11.5 植基於S樹的區域分割 定義11.1 活躍區域(Active Region) 指的是由某些區塊集合而成的區
域，且該區域仍有可能和其鄰近 的區域合併為一更大的區域。反 之，不活躍(Inactive)區域指的是 該區域不會再和其它鄰近區域有 合併的可能。 定義11.2 一個區域不管是活躍或 不活躍，我們用該區域的邊來表 示之。每段邊可能為活躍邊或不 活躍邊。對一個活躍的邊而言， 它可能和相鄰的不活躍邊合併而 消失掉；也可能因為和相鄰的邊 不能合併而轉為不活躍的邊。 圖11.9 圖11.6的區域分割圖
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定義11.3 在S樹的表示方式中，已被拜訪及處理過的區域集和未 被拜訪過的區塊存在有接攘的線段集，這接攘的線段
集就叫波形(Waveform)。 圖11.10 一個波形的例子 圖11.11 線段(Segment)的資料結構
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圖11.12 一個活躍區域的資料結構
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圖11.13 Leaf_Operation程序對區塊28的模擬例子
(b) 合併區塊28和區域B 圖11.13 Leaf_Operation程序對區塊28的模擬例子
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圖11.13 Leaf_Operation程序對區塊28的模擬例子
(c) 檢查和區域A的合併可能 (d) 區域A不能合併後 圖11.13 Leaf_Operation程序對區塊28的模擬例子
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圖11.13 Leaf_Operation程序對區塊28的模擬例子
(e) 合併區域B和區塊10 (f) 修正波形的線段 圖11.13 Leaf_Operation程序對區塊28的模擬例子
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定理11.14 令B為S樹表示法中位元1的個數，植基於S樹表示法的
區域分割演算法可在 的時間內完成，這裡 為接近常數的複雜度。 證明：在我們以上所介紹的區域分割演算法中，一旦在線性樹表中讀到位元0，就執行Region_Segm，故總共需呼叫 次Region_Segm程序，這裡A代表線性樹表中位元0的出現個數。一旦在線性樹表中讀入位元1，則呼叫Leaf_Operation。假設線性樹表中的位元1之總個數為B，那麼共需呼叫 次Leaf_Operation程序。針對一個位元1，會產生一個新的區塊。在波形上，至多有四個線段會和這新產生的區塊之邊相接攘，因此最多有4B次的合併動作需被執行。由前面的敍述已知，合併任兩個活躍區域只需 的時間，卻需 的花費來完成全部Union-Find的運算。因為 ，所以植基在S樹的表示法之區域分割法可在 的時間內完成。證明完畢。
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(a) 原始影像 (b) 之下的分割區塊 圖11.15 區域分割結果的比較 (c) 和 條件下， 我們的方法之區域分割結果 (d) 每一區域用其平均值圖示
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11.7 作業 習題一： 分析11.2節中MRQSA方法的數值穩定度。 習題二： 利用C語言，寫一程式將灰階影像轉換成S樹表示法。
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