§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和.

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1 §6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和

2 由维数公式 设　　 为线性空间V的两个子空间， 有两种情形： 此时 即，　　　必含非零向量.

3 此时 　　　不含非零向量，即 情形2）是子空间的和的一种特殊情况　　 直和

4 一、直和的定义 注: 设 为线性空间V的两个子空间，若和 中每个向量 的分解式 是唯一的，和 就称为直和，记作 ① 分解式 唯一的，意即
中每个向量　的分解式 是唯一的，和　　　就称为直和，记作 注: ① 分解式　　　　　 唯一的，意即 若有 则

5 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中
都成立. 例如，R3的子空间 这里， 在和　　　中，向量的分解式不唯一，如 所以和　　　不是直和.

6 而在和　　　中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的， 事实上，对　　　　　　　　　　　 都只有唯一分解式： 故　　　是直和.　

7 二、直和的判定 1、(定理8) 和　　　是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，即若 则必有 2、和　　　是直和 3、和　　　是直和

8 总之，设　　　为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价: 1）　　　是直和 2）零向量分解式唯一 3） 4） 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 称这样的W为U的一个余子空间.

9 注意： 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设 5、设　 　　　　　　　　　分别是线性子空间 的一组基，则 是直和 线性无关.

10 三、推广　　多个子空间的直和 1、定义 都是线性空间V的子空间，若和 中每个向量　的分解式　　 是唯一的，则和　　　就称为直和，记作

11 2、判定 设　　　　　都是线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价: 1）　　　　是直和 2）零向量分解式唯一，即 3） 4）

12 例1、每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和. 证：设　　　　　　是　n　维线性空间V的一组基, 则 而 故 得证.

13 例2. 已知　　　　，设 证明：1）　　　 是 　的子空间. 2）当　　　 时， 证：1） 任取 有 是 　的子空间.

14 下证　 是 　的子空间. 又对　 有 从而有 故　 是 　的子空间.

15 2）先证 任取 其中 又 又　　　是 　的子空间， 再证

16 任取 从而 所以

17 例3、 和　　　　　　　是直和 证: 则

18 则零向量还有一个分解式 （*） 在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 则(*)式变为 这时， 所以，　　　　　　是直和.

19 作业 P271: