第三章 导数及其应用.

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1 第三章 导数及其应用

2 3.1 导数的概念 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 又如何求 瞬时速度呢?

3 如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？ 通过列表看出平均速度的变化趋势 ：

4 瞬时速度? 我们用 表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”. 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?

5 导数的定义: 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

6 应用： 例1 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.

7 解: (1)将 Δt=0.1代入上式，得: (2)将 Δt=0.01代入上式，得: 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).

8 它说明在第2（h)附近，原油温度大约以3 0C/H的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以5 0C/H的速度上升。
应用： 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。 关键是求出： 它说明在第2（h)附近，原油温度大约以3 0C/H的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以5 0C/H的速度上升。

9 应用： 例3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动， （１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；

10 练习: 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+(Δx)2 　　再求 　再求

11 小结： (2)求平均速度 （3）求极限 (2)求平均变化率 （3）求极限 1求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) (2)求平均速度 （3）求极限 1由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) (2)求平均变化率 （3）求极限

12 作业：