一、无穷小的比较 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同..

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1 一、无穷小的比较 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

2 定义:

3 例如，

4 例1 解

5 证 必要性 充分性

6 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
例如, 常用等价无穷小:

7 例２ 解

8 二、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) 证

9 例３ 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．

10 例４ 解 注意 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.

11 例５ 错 解 解

12 例6 解

13 三、小结 1、无穷小的比较 2、等价无穷小的代换: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 2、等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.

14 思考题 任何两个无穷小都可以比较吗？

15 思考题解答 不能． 例当 时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当 时

16 练 习 题

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19 练习题答案

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21 第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数 一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义 2019/5/6

22 一、三个重要关系 1.（无穷小与无穷大） 2.（极限与无穷小） 2019/5/6

23 3.无穷大与无界函数 问题： 两个无穷小量的商是否为无穷小量？ 2019/5/6

24 二、无穷小量的比较 定义： 2019/5/6

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26 2019/5/6

27 几个常用的等价无穷小量 2019/5/6

28 等价无穷小量的性质 性质1： 2019/5/6

29 性质2： 等价代换 2019/5/6

30 三、求极限举例 [例1] [解] 2019/5/6

31 [例2] [解] 2019/5/6

32 2019/5/6

33 [例3] [解] 2019/5/6

34 是 x 的 3 阶无穷小 讨论： 代数和不能代换！ 2019/5/6

35 [例4] [解] 2019/5/6

36 [例5] [解] 2019/5/6

37 [例6] [解] 2019/5/6

38 [例7] [解] 2019/5/6

39 从而 或者 2019/5/6

40 连 续 函 数 2019/5/6

41 函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：  当自变量有微小变化时，因变量的
变化也是微小的；  自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；  连续函数的图形可以一笔画成,不断开. 2019/5/6

42 例如： 2019/5/6

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46 以上描述实质上是同意的反复,数学上要确切 地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述. （一）定义 定义1： 2019/5/6

47 [注意1] 以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性. [注意2] 2019/5/6

48 定义2： （函数在一点的单侧连续性） 2019/5/6

49 定义3： （ 函数在区间上的连续性） 2019/5/6

50 （二）间断点的分类 根据间断点的不同情况，可以分为三类： 1. 可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断,可以重新 定义, 使其连续.
1. 可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断,可以重新 定义, 使其连续. 2019/5/6

51 [例如] 2019/5/6

52 2. 第一类间断点 [例] 符号函数 2019/5/6

53 3. 第二类间断点 [例] 2019/5/6

54 五、函数连续性的基本性质 （一）连续性定义的等价形式： 2019/5/6

55 （二）连续函数的有界性： 2019/5/6

56 （三）连续函数的保号性： 2019/5/6

57 （四）连续函数的运算性质： 2019/5/6

58 （五） 关于反函数的连续性 （六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。 2019/5/6

59 非初等函数连续性问题举例 [解] 2019/5/6

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61 [解] 2019/5/6

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