國立臺灣海洋大學 機械與機電工程學系 PDE 期末報告

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1 國立臺灣海洋大學 機械與機電工程學系 PDE 期末報告
題目：Laplace方程是什麼? 指導老師: 陳正宗 終身特聘教授 學生：葉昱廷 學號：

2 拉普拉斯方程 （Laplace's equation）
定義(二維)： 又可寫作 或簡寫作

3 拉普拉斯運算子 (Laplace operator)
稱為拉普拉斯運算子 定義為梯度的散度

4 拉普拉斯運算子的旋轉不變性 旋轉不變性： 在數學裡，給予一個定義於內積空間 的函數，經過任意旋轉，其參數值可能 會改變，但是函數值仍舊保持不變，則 稱此性質為旋轉不變性。 例如，將 xy-平面繞著 z-軸旋轉，函 數 的值不變

5 二維的拉普拉斯方程 兩個自變數的拉普拉斯方程具有以下形式 解析函數的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程 那麼 是解析函數的充要條件是 ，
那麼 是解析函數的充要條件是 ， 可微，且滿足下列柯西-黎曼方程

6 二維的拉普拉斯方程 由上述的方程繼續求導可得到 所以 滿足拉普拉斯方程，類似的計算 可以推得 同樣滿足拉普拉斯方程

7 在流場中的應用 設u、v 分別為滿足定常流動、不可壓 縮和無旋場條件的流體速度場的x 和 y 方向分量（這裡僅考慮二維流場）， 那麼不可壓縮條件為： 無旋條件為： 若定義一個純量函數 ，使其微分滿足

8 在流場中的應用(續) 那麼不可壓縮條件便是上述微分式的可 積條件。 積分的結果函數 稱為流函數，因為它 在同一條流線上各點的值是相同的。
積分的結果函數 稱為流函數，因為它 在同一條流線上各點的值是相同的。 的一階偏導函數為：

9 在流場中的應用(續) 無旋條件即令 滿足拉普拉斯方程。 的共軛調和函數 稱為速度勢。 柯西-黎曼方程要求
無旋條件即令  滿足拉普拉斯方程。 的共軛調和函數 稱為速度勢。 柯西-黎曼方程要求 所以每一個解析函數都對應著平面內的 一個定常流動不可壓縮無旋流場。解析 函數的實部為速度勢函數，虛部為流函 數。

10 在電磁學中的應用 Maxwell's equations，二維空間中不隨 時間變化的電場(u,v)滿足： 和 其中 為電荷密度。第一個 Maxwell‘s equations便是下列微分 式的可積條件

11 在電磁學中的應用(續) 所以可以構造電勢函數φ使其滿足 第二個Maxwell's equations即 這是一個Poisson's equation