第二章 現金流與金錢的時間價值.

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1 第二章 現金流與金錢的時間價值

2 現金流與現金流圖 以財務角度分析工程方案，需使用現金流圖(表)來描述方案 現金流圖：專案 (視覺化) 的財務性描述
現金流代表金錢(現金)在某特定時間或期間的流動或轉移 專案計畫的現金流入與流出 流入：收入或收益 流出：花費或支出 淨現金流：收入 – 支出

3 現金流與現金流圖 離散性：專案計畫的現金流入或流出發生在特定的時間點上 連續性：在某一段期間，現金會以某個速率流入或流出專案

4 現金流圖 專案計畫的財務性描述。 描繪某個時間範圍中現金流的類型、大小、與時間性。 1 2 3 4 5 時間範圍中的時間期間

5 現金流圖(離散型) 離散型的現金流入(收入) 離散型的現金流出 (花費、支出) 請注意箭頭的方向！ 500K 200K 200K 200K
1 2 3 4 5 50K 100K 500K 離散型的現金流出 (花費、支出) 請注意箭頭的方向！

6 現金流圖(離散型) 淨現金流是將同個時間點上的收入與支出合併 可以改成淨現金流 500K 200K 200K 200K 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 50K 100K 可以改成淨現金流 500K

7 現金流圖(離散型) 淨現金流是將同個時間點上的收入與支出合併 淨現金流 500K 200K 200K 100K 1 2 3 4 5 50K
1 2 3 4 5 50K 淨現金流 500K

8 現金流圖(連續型) 連續型現金流：定義金錢在時間中移動的速率 雖然利於分析長期計畫，但實務上不常用 連續型的現金流入 (收入)
1 2 3 4 5 500K 200K 連續型的現金流入 (收入) 每單位時間200K的流動速率 雖然利於分析長期計畫，但實務上不常用

9 現金流圖(離散型) 可以描繪任何投資機會 典型的投資： P 進行初始的投資 (購買)

10 現金流圖(離散型) 可以描繪任何投資機會 典型的投資： 在各時間點獲得收入 在時間點N得到殘餘價值 1 2 N 3 P 在各時間點支出花費

11 現金流圖(離散型) 可以描繪任何投資機會 典型的投資： AN A3 A2 1 2 3 N A1 P 將每個期間寫成淨現金流

12 額外例題：現金流圖(離散型) 面紙公司Svenska Cellulosa宣布在其西班牙Valls的工廠投資4.9億元添購一座新的面紙機器，將其每年的產能擴展60,000噸。該工廠大部分產品都是供應給零售商的自有品牌。 (幣值：瑞典克朗) 假設：於2006年進行投資，於2007年開始運作。這具機器擁有10年的服務年限以及2,500萬元的殘餘價值。第1年的固定O&M成本為1,000萬元，每年增加8%。收入為每噸6,400元，成本為每噸4,600元。 試繪製其現金流圖。 Source：“SCA Invests Around SEK490M in New Tissue Machine in Spain,” Dow Jones Newswires, December 22, 2005.

13 額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)
時間線 1 2 10 3

14 額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)
個別現金流：投資成本(期初) 1 2 10 490M 3

15 額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)
個別現金流：每期收入 384M 384M 384M 384M 1 2 3 10 490M

16 額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)
個別現金流：每期(變動)成本 384M 384M 384M 384M 1 2 3 10 276M 276M 276M 276M 490M

17 額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)
個別現金流：每期固定成本 384M 384M 384M 384M 1 2 3 10 276M 276M 276M 276M 10M 10.8M 11.7M 490M 20M

18 額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)
個別現金流：殘餘價值(期末) 1 2 10 490M 3 384M 276M 10M 10.8M 11.7M 20M 25M

19 額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟)
淨現金流圖 113M 98.0M 97.2M 96.4M 89.5M 1 2 3 9 10 這是一種「典型的」投資案 (投資於時間零，稍後得到報償) 490M

20 例題2.1 現金流圖(離散型) Perryman Co.是一家位於賓州的鈦製造商 在2005年購買1,000萬美元的軋鋼廠以擴展其營運
例題2.1 現金流圖(離散型) Perryman Co.是一家位於賓州的鈦製造商 在2005年購買1,000萬美元的軋鋼廠以擴展其營運 其年產量增加超過60%，達到700萬磅 可用來製造圈狀或棒狀產品的鈦錠 假設這座新廠房是在2005年初購置 在10年內都可用最高產能運作(每年產出437.5萬磅) 假設每一磅的產出都可以產生$9美元的收入 其生產成本則為$3.90美元 第一年的設備維護費為$1,000萬美元，且每年會增加100萬美元 這座廠房在10年後會被拆除，並獲得$50萬美元 請為此項投資繪製現金流圖，假設所有的花費與收入都出現在年尾

21 例題2.1 現金流圖(離散型)(解答) (a)個別現金流圖 (b)淨現金流圖 固定期間的淨現金流，就是該段期間所有個別現金流的總和。 50萬
例題2.1 現金流圖(離散型)(解答) (a)個別現金流圖 (b)淨現金流圖 固定期間的淨現金流，就是該段期間所有個別現金流的總和。 50萬 1232萬 1132萬 382萬 3938萬 3938萬 1706萬 1706萬 1000萬 1000萬 1000萬 1100萬 1900萬

22 現金流分析 所有的投資機會都可以繪製為現金流圖 將所有現金流圖轉換成類似的示意圖以進行比較  我們要如何從中選擇最佳的投資機會？
使用共同的利率 使用金錢的時間價值運算

23 金錢的時間價值 金錢有價值，因為它會提供我們效用 一般來說，相較於未來的金錢，我們比較喜歡當下的金錢 (同樣金額)
我們可以馬上花用然後取得效用 我們可以將之投資，然後期待它隨利息而增長，以取得未來較高的效用 我們若將它藏在枕頭底下，則會坐視它喪失購買力

24 金錢的時間價值 描述相同金額的金錢在不同時間的價值 利息 ~ 金錢的成本 需要使用利率 面對正利率，以現在而言：
金錢會成長 (增生) 使未來有較高的總額 過往的金錢會較少 (受到折價) 利息 ~ 金錢的成本 借(出)款人針對使用金錢所索取的使用費 任何交易都會有某個人賺取金錢，某個人支付利息 例：存款帳戶：銀行支付~~1.5%的費用給存款人 房屋/汽車抵押貸款： 貸(入)款人支付銀行~~7.5%的費用給銀行

25 利息與利率 利率有許多組成要素 案例：房屋抵押貸款：7.5% 風險較高的客戶，利率可能會更高
基本利率：(銀行在需要時，以此利率向聯邦準備銀行借款) 5% 風險因素：1% 管理費用：0.5% 利潤：1% 風險較高的客戶，利率可能會更高

26 利息與利率 定義利息 本金 (資本)：P 利率：i 複利期間 投資或借貸的金額 金錢的使用費(租金) 為在每個期間中本金的某個比例
為計算利息的時間長度 借貸/投資的時間長度：N期間

27 利息與利率：單利 所賺取(或支付)的利息，是所牽涉到之資本的某個比例 =(本金)(利率)(期數)

28 例題2.4(單利)： 2004年，波音宣布將在2007年生產新型7E7 Dreamliner (後來改名為787)，售價將高達$1.275億美元。 如果某家航空公司向銀行貸款購買一架787，利率(單利)為每年5.5%，請問這家公司這筆貸款在四年後需支付多少錢？ Source：Penton, K., “Keystone gets $7 million funding,” The Morning Call, p. D1, January 13, 2006.

29 例題2.4(單利) 解答： 四年後所積欠的利息可用公式(2.1)計算如下： 如果貸款要在第四年後的第一季結束後歸還，則利息會變成
$127.5M 例題2.4(單利) 解答： 例2.4之現金流圖 F 四年後所積欠的利息可用公式(2.1)計算如下： 4年的利息款項總計為 4年後要歸還的貸款總計為 如果貸款要在第四年後的第一季結束後歸還，則利息會變成 額外的一季會造成利息費用多出175萬美元(=127.5M*0.055*1/4)

30 利息與利率：複利 需同時針對本金與已增生的利息總額支付利息 必須每期計算所積欠的利息

31 複利與現金流圖 案例：P=$1000，i =10%，一年後(第一期期末)會增生多少？ 如果在第一期期末取出這筆錢： 本金：P = $1000
所賺取之利息：I = Pi = $1000(0.10) = $100 總計：F1 = P + I = P + Pi = P(1+i) = $1100 如果在第一期期末取出這筆錢： 1 F1 = 1100 P = 1000

32 複利與現金流圖 兩年後(第二期期末)會增生多少？ 第二期期初本金：F1 = $1100(=第一期期末總計)
第二期獲得之利息： I2 = F1i = P(1+i)i = $1100(0.10) = $110 總計： F2 = P + I1 + I2 = P + Pi + (P+Pi)i = P(1+i)2 = $1210 如果在第二期期末取出這筆錢： 1 2 P = 1000 F2 = 1210

33 複利與現金流圖 第N期期末會增生多少？ 在第N期期末取出這筆錢： 一般化公式為：F = P(1+i)N
P – 現值(Present Value) F – 未來值(Future Value) 在第N期期末取出這筆錢： 1 2 P F = P(1+i)N 3 N

34 例題2.5(複利)： 考量購買波音787的1.275億美元購買成本 此時若5.5%的利率是以每年複利計算。
如果貸款必需在四年後一次還清，請計算總共所需支付的利息為何。 解答： 這筆交易的現金流圖與例2.4相同，但利息的計算較為複雜，因為利息的計算是依據本金與所有增生的利息為基礎。 在第四年之前，這筆貸款不會被歸還，所增生的利息也不會被支付，因此利息將會累積。

35 例題2.5(複利)解答： 在第一年(第一個複利期間)期末，借款人積欠利息為： 第一年期末積欠總金額(本金+利息)為：
I1 = Pi = ($127.5M)(5.5%) = $7,012,500 (等於一期的單利) 第一年期末積欠總金額(本金+利息)為： F1 = P + I1 = P + Pi = P(1 + i) = $134,512,500 P=$127.5M (1+i) 1 F1 = ?

36 例題2.5(複利)解答： 第二年所增生的利息為： 第二年期末積欠總金額(本金+利息)為： 第二年期末積欠未支付的利息總額為
I2 = (P + I1)i = (P + Pi)i = P(1 + i)i = [$127.5M + $7.0125M](5.5%) = $7,398,178.5 第二年期末積欠總金額(本金+利息)為： F2 = P + I1 + I2 = P + Pi + P(1 + i)i = P[1 + 2i + i)i] = P(1 + i)2 = $127.5M(1.055)2 = $141,910,687.5 第二年期末積欠未支付的利息總額為 I1 + I2 = $7,012,500 + $7,398,178.5 = $14,410,678.5 P=$127.5M (1+i) (1+i) 1 2 F2 = ?

37 例題2.5(複利)解答： 第三年所增生的利息為： 第三年期末積欠總金額(本金+利息)為： 第三年期末積欠未支付的利息總額為
I3 = (P + I1 + I2)i = F2i = [$127.5M + $ M](5.5%) = $7,805,087.3 第三年期末積欠總金額(本金+利息)為： F3 = F2 + I3 = F2 + F2i = F2(1 + i) = P(1 + i)2(1 + i) = P(1 + i)3 = $127.5M(1.055)3 = $149,715,775.31 第三年期末積欠未支付的利息總額為 I1 + I2 + I3 = $14,410, $7,805,087.3 = $22,215,765.8

38 例題2.5(複利)解答： 第四年所增生的利息為： 第四年(N=4)期末積欠總金額F為： 在第四期末積欠未支付的利息總額為
I4 = (P+I1+I2+I3 )i = F3i = $ (5.5%) = $8,234,367.64 第四年(N=4)期末積欠總金額F為： F = P(1 + i)4 = $127.5M(1.055)4 = $157,950,143 在第四期末積欠未支付的利息總額為 I = I1 + I2 + I3 + I4 = F – P = $157,950, $127,500,000 = $30,450,143

39 例題2.5(複利)解答： 一般公式： 第N期結束積欠總金額為： F = P(1 + i)N F通常被稱為目前總額P的未來值
第N期結束積欠利息總額為： I = F - P P=$127.5M 1 FN = ? (1+i) 2 N-1 N …………….

40 名目利率與實際(有效)利率 名目利率：金融機構通常以年度為基準，不計入複利的影響，來提供利率數據 ，亦稱為年百分率(Annual Percentage Rate – APR) 實際(有效)利率：每期應得的利率(複利計算) 需將名目利率轉換成實際(有效)利率以進行分析 名目利率在分析上沒有用處！ 名目年利率：r 但以每期（通常 1年，如每月、季、半年）複利計算 一年內的複利次數：M 注意：名目利率不一定是”年“利率，但最常以年利率定義名目利率

41 轉換名目利率 一定要將名目利率轉換為實際(有效)利率 (2.2) 例如：「 12%，每月複利一次」的意義為 若一年內複利M次(期)
則每期實際利率為 i： (2.2) 例如：「 12%，每月複利一次」的意義為 名目年利率 r = 12% 每月複利一次 = 一年複利12次 則每月實際利率 i = r/M = 12%/12 = 1%

42 例題2.6：名目利率 First Quantum Minerals, Ltd. 針對其礦產運作，向渣打銀行取得3,000萬美元的信用額度。
這項信用額度的利率為LIBOR (London Inter-Bank Offered Rate；倫敦銀行同業拆借率)加上2.5%，且要以每季計費的方式還款。 假設LIBOR固定在每年1.37%，則每年的名目利率為1.37% % = 3.87%。 假設複利是以每季計算，試求有效的季利率。

43 例題2.6 解答 使用每季的複利計算，以公式(2.2)定義每季利率(iq)為 這意味著每季的實際(有效)利率為0.97%

44 例題2.7 再次檢視名目利率 再檢視前一例題 這次假設提供給Quantum Minerals 的貸款利率是以季利率2.5%以及三個月的LIBOR利率0.28%計算，總利率為每季2.78%。 請問其名目利率為何？

45 例題2.7 解答 使用公式(2.2)求解名目利率r，可發現 r = iqM = (0.0278)(4) = 11.12%
例題2.7 解答 使用公式(2.2)求解名目利率r，可發現 r = iqM = (0.0278)(4) = 11.12% 即名目年利率為11.12%，每季複利計算 或可表示為：「 11.12% ，每季複利」

46 實際(有效)利率 (i) 可解讀為： 投資的利潤率(投資報酬率)或 貸款的真實成本或 到期殖利率 是特定期間實際發生的利率 (以複利計算)
在分析上，實際(有效)利率比名目利率有用 每期i %

47 實際(有效)利率 (i) 因為名目利率通常以年度為基準來定義，因此，定義實際(有效)年利率ia有其必要性
例如：M=12(每月複利)， 則每月實際利率im = r/M 以現金流圖將月利率im轉換成實際年利率ia P F F = P(1+im)12 and F = P(1+ia)  (1+im)12 = (1+ia)  ia = (1+im)12 -1  ia = (1+ r/M)12 -1

48 轉換實際(有效)利率 例：名目(年)利率r =12%，每月複利 (M = 12) 實際年利率 ia = ？
12月 1年 P F 月利率im 1 2 3 im = r/M = 12%/12 = 1% F=P(1+ia) =P(1+im)12 (1+ia) = (1+im)12 ia = (1+1%)12 – 1 = = 12.68%

49 轉換實際(有效)利率 例：名目(年)利率r =12%，每季複利 (M = 4) 實際年利率 ia = ？
iq = r/M = 12%/4 = 3% 年利率ia 4 季 1年 F 季利率iq 1 2 3 F=P(1+ia) =P(1+iq)4 P (1+ia) = (1+iq)4 ia = (1+3%)4 – 1 = = 12.55%

50 轉換實際(有效)利率 例：名目(年)利率r =12%，每月複利 (M = 12) 半年的實際利率 isa= ？
12月 1年 P F 月利率im 1 2 3 im = r/M = 12%/12 = 1% F=P(1+isa)2 =P(1+im)12 (1+isa)2 = (1+im)12 isa = (1+1%)6 – 1 = = 6.15% 例：以半年實際利率 isa，計算實際年利率ia=？ ia = (1+isa)2 – 1= (1+6.15%)2 – 1 = = 12.68%

51 轉換實際(有效)利率 例：實際年利率ia =12%，每月複利 (M = 12) 名目年利率 r = ？
F=P(1+ia) =P(1+im)12 (1+ia) = (1+im)12 im = (1+ia)1/12 - 1 im=(1.12)1/12 -1 = = 0.949% r =( im )(M) = (0.949%)(12) = %

52 轉換實際(有效)利率 例：名目年利率 r =12%，每年複利 (M = 1) 即，實際年利率 ia =12%，則 有效季利率 = ？
(註：從較長的利率期間轉成較短的利率期間) F=P(1+ia) =P(1+iq)4 (1+ia) = (1+iq)4 iq = (1+ia)1/4 - 1 iq=(1.12)1/4 -1 = = 2.87%

53 轉換實際(有效)利率 每期名目利率為 r 每期複利M次，則每次實際(有效)利率： i = r/M 再轉換至所需的期數(l 期)
(2.3)

54 轉換實際(有效)利率 例：若以季為一期，即，名目季利率 = rq = 6%， 假設每月複利 ，即每季複利3次 ( M = 3)，則
半年(l = 2季)的有效利率為何？ 每月實際(有效)利率：im = rq /M = 6%/3 = 2% 應用公式(2.3)： isa = (1 + rq /M)lM -1 = (1 + 6%/3)(2)(3) = (1 + 2%)6 - 1 = %

55 連續性複利計算 在一特定期間內有無窮多個的複利期間 (M  )時， 求解該特定期間內的實際(有效)年利率：
l 年的有效利率 (l 可為一年的分數或倍數)：

56 例題2.8 連續性的複利計算 ON Semiconductor Corp. 在2003年秋季重新籌措了3.69億美元的銀行借款。
利率為LIBOR加上325個基本點(即3.25%)。假設LIBOR為1.5%，則這筆借貸的利率便是每年4.75% ( = r)。 使用連續性的複利計算，試求等值的有效年利率與半年利率。

57 例題 2.8 解答： 等值的有效年利率可由公式(2.5)求得： 等值的有效半年(六個月)利率則是

58 比較利率 需使用複利期間長度相同的實際(有效)利率 規則： 不應以名目利率進行比較
應用 i = r/M 將名目利率轉換為複利期間長度的有效利率 將複利期間較短的有效利率轉換為複利期間較長的有效利率 應用 i長期間 = (1 + i短期間 )N -1 將複利期間較長的有效利率轉換為複利期間較短的有效利率 應用 i短期間 = (1 + i長期間 )1/N -1 (註：長期間 = 短期間*N)

59 例題2.9 比較利率 Toromont Industries, Ltd.的CAT部門在2004年初，以大約1,200萬加幣的代價將33具Caterpillar設備(包含鋪路設備、壓土機、剷土機、…) 出售給Lafarge Canada, Inc.。 付款方式： 假設業者提供融資(透過貸款) 購買這些設備利率為18%，每月複利計算。 該公司可向某家當地銀行尋求貸款，這家銀行提供17%的APR，以連續性的複利計算。 請問哪一種付款方式的利率較佳？

60 例題2.9 解答： 不要只因為17%少於18%，就落入陷阱而接受銀行的利率。 兩種利率都是名目利率，因此無法相比較。
兩種利率都必須先轉換成相同期間的有效利率以進行比較。 先考量業者的利率r =18%，每月複利計算，則有效月利率為 使用公式(2.5) ，將連續性複利計算的銀行利率轉換為有效年利率：

61 例題2.9 解答(續)： 判斷1.5%的有效月利率是否比18.53%的有效年利率划得來 以年為利率期間，比較兩種利率：
由於有效月利率在一年中會複利12次，因此，等值的有效年利率為 銀行提供給這家公司的利率(18.53%)較為便宜。 請注意，也可以將銀行的有效年利率轉換為有效的月利率。 決策依然相同，因為銀行所提供的每月1.43%比業者的1.5%要來的便宜。

62 現金流的時間性 利率的複利期間與現金流出現的間隔時間相符時，才能進行方案分析 兩種不相符的狀況：
複利計算較現金流頻繁： (複利期間<現金流間隔時間) 將利率的複利期間轉換成與現金流發生的間隔時間相同的有效利率 現金流的發生較複利次數頻繁： (複利期間>現金流間隔時間) 假設在複利期間內發生的現金流並不會產生利息--只需「累加」現金流 找出現金流發生期間的實際利率

63 例題2.10 使複利期間與現金流期間相符 Tennessee Valley Authority (TVA)與肯塔基州及伊利諾州的高含量硫煤礦供應商簽下多筆合約，以確保其位於肯塔基Paradise的發電廠 3號發電機的燃料供應。 這份合約的價值為8.03億美元。 假設支付給煤礦供應商的款項是從2004年1月開始，每月支付，每年的利率為11%，以連續複利計算

64 例題2.10解答： 根據合約，TVA在合約期間要為每一頓煤支付33.46美元。在每個月送交10萬噸煤的情況下，意味著每個月的應付款項為334.6萬美元。 TVA的金流圖如下。 購煤的每個月應付款項

65 由於利率是以連續複利計算，因此複利次數比現金流(每月付款)要來得頻繁。
可以將利率轉換為有效月利率，以進行分析。月利率為 轉換後的利率為每月有效利率可以直接使用在現有的現金流圖上，因為現金流發生的時間性與複利期間相同(每月)。

66 例題 令現金流與複利期間相符 TVA也和Alliance Resource Partners 簽下20年10.7億美元的合約，每年從該公司取得150萬噸的煤。 假設這筆合約的支付款項為每月446萬美元(首筆支付款於2004年一月底)，但是利率是每年12% (每年複利)。

67 解答： 圖2.14(a)描繪這筆合約的真實現金流移轉。 現金流是每個月發生，但利率卻是每年計算複利。
每個月的現金流可以總結為每年5,350萬美元的總金額，如圖2.14(b)所示。 本書將使用這項慣例。 (a)購煤的每月款項 (b)以年利率為基礎的每年總結款項 例題2.10與2.11使現金流時間性與複利期間相符。