大綱: 母子相似性質 內、外分比性質 重點複習 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司

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1 大綱: 母子相似性質 內、外分比性質 重點複習 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司
相似三角形的應用 大綱: 母子相似性質 內、外分比性質 重點複習 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司 本單元預備知識： 比例線段、相似及 三角形相似判別性質

2 母子相似性質 在 中， 且 ，則： (1) (2) [ 證明 ] (AA 相似) C (AA 相似) A B D
相似三角形的應用 在 中， 且 ，則： (1) (2) [ 證明 ] (AA 相似) 兩個多邊形相似 對應邊成比例 C (AA 相似) A B D 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 例題練習 兩個三角形的邊和角 只要符合下列任一種 條件，則此兩三角形相似： AA(A)、SAS、 SSS 在 中， ， ， 若 ， ，則 A C B D 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 內分比性質 在 中，若 為 的角平分線，則 E [ 證明 ] 作 交 的延長線於 E 點 則 且 又因為 所以 A B C D 4 1 2
相似三角形的應用 在 中，若 為 的角平分線，則 E [ 證明 ] 作 交 的延長線於 E 點 則 且 又因為 所以 4 A 1 2 3 例題練習 B 如圖， 中， ， ， ， 平分 ，則 C D 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 B A D D E // A C B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 外分比性質 在 中， 為 的外角平分線，交 的延長線於 D， 則 [ 證明 ] 作 交 於 E 點 則 又因為 A E B C D 1 2
相似三角形的應用 在 中， 為 的外角平分線，交 的延長線於 D， 則 [ 證明 ] 作 交 於 E 點 則 又因為 A 1 2 E 4 3 B C D 例題練習 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 如圖， 中， ， ， ， 平分 的外角，則 A A D E // B B C C D 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 三角形相似判別性質 ( AAA、SAS、SSS)
相似形重點複習 三角形相似判別性質 兩個三角形面積關係 三角形比例線段 平行線截比例線段 中， A B C D E // 底相等，則 面積比＝高的比 高相等，則 面積比＝底的比 縮放及相似形 三角形相似判別性質 ( AAA、SAS、SSS) A 內、外分比性質 性質 C D B A 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 相似三角形， 高的比＝對應邊的比。 相似多邊形， 面積比＝對應邊平方比。 直角三角形 母子相似性質 兩圖形相似 對應邊成比例 且對應角相等 B C D A B C D 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 內分比性質 (第二種證明) 在 中，若 為 的角平分線，則 [ 證明 ] 作 A 因為 為角平分線，所以 則 又 E F B D C
相似三角形的應用 在 中，若 為 的角平分線，則 [ 證明 ] 作 因為 為角平分線，所以 則 又 A E F B D C 角平分線性質： 角平分線上任一點 到角的兩邊等距 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 底相等，則 面積比＝高的比 高相等，則 面積比＝底的比 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 相似形重點整理 三角形相似判別性質 ( AAA 相似性質 ) 三角形相似判別性質 ( SAS 相似性質 )
兩圖形相似 對應邊成比例 且 對應角相等 三角形內平行線 截比例線段性質 D E // B C 三角形相似判別性質 ( AAA 相似性質 ) 三角形相似判別性質 ( SAS 相似性質 ) 三角形相似判別性質 ( SSS 相似性質 ) 相似形面積比 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 相似三角形， 高的比＝對應邊的比。 相似多邊形， 面積比＝對應邊平方比。 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 重點整理 相似形 平面圖形的縮放 A’ A’ A O A C B O B B’ B’ C’ 三角形內比例線段性質 比例式性質
縮放及相似形 三角形內比例線段性質 縮放前後的線段互相平行 平面圖形的縮放 縮放前後各對應邊長形成比例線段 性質 縮放前後角度不變 A’ A’ A O A C B O B B’ B’ C’ 相似形 定義 若一個圖形經過縮放後，和另一個圖形全等， 則稱這兩個圖形相似，以「~」記之。 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 性質 比例式性質 兩圖形相似 對應邊成比例 且 對應角相等 相似形周長比＝對應邊長比 性質 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司