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1.设A和B是集合，证明：A=B当且仅当A∩B=A∪B
2.一个A上的二元关系R称为循环的，如果对任意的a,b,cA,若aRb,bRc,必有cRa.证明:R是自反和循环的当且仅当R是等价关系
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引理(一)：若A、B都是可列集，A∩B= ，则A∪B是可列集。
证明:因为A、B都是可列集,故由定理(二)得,A中的元素可以排成一个无穷序列的形式:a0,a1,a2,a3,a4,…, B中的元素可以排成一个无穷序列的形式:b0,b1,b2,b3,b4,…,又因A∩B=，故可构造N到A∪B的双射
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定理4.7：两个可列集之并仍为可列集。 构造B1=B- (A∩B), 则A∩B1=，A∪B1=A∪B 推论：有限个可列集之并仍为可列集。 定理4.8：可列个可列集之并仍为可列集 考虑互不相交的情况 例：证明有理数集Q是可列集。 首先证明正有理数集是可列集 Q+={n/m|m,n互质，n,m0} 与有序对有关
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定理4.9:[0,1]是不可列集。 证明:显然[0,1]不是有限集。 假设[0,1]是可列集。利用区间套定理导出矛盾 称[0,1]为连续统,基数记为,c 有时也记为1 例:证明|(0,1)|=|[0,1]|= 构造(0,1)到[0,1]之间的双射
![定理4.9:[0,1]是不可列集。 证明:显然[0,1]不是有限集。 假设[0,1]是可列集。利用区间套定理导出矛盾. 称[0,1]为连续统,基数记为,c. 有时也记为1. 例:证明|(0,1)|=|[0,1]|=](http://slidesplayer.com/slide/16719731/97/images/4/%E5%AE%9A%E7%90%864.9%3A%5B0%2C1%5D%E6%98%AF%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E5%88%97%E9%9B%86%E3%80%82+%E8%AF%81%E6%98%8E%3A%E6%98%BE%E7%84%B6%5B0%2C1%5D%E4%B8%8D%E6%98%AF%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E3%80%82+%E5%81%87%E8%AE%BE%5B0%2C1%5D%E6%98%AF%E5%8F%AF%E5%88%97%E9%9B%86%E3%80%82%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%E5%A5%97%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%AF%BC%E5%87%BA%E7%9F%9B%E7%9B%BE.+%E7%A7%B0%5B0%2C1%5D%E4%B8%BA%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%BB%9F%2C%E5%9F%BA%E6%95%B0%E8%AE%B0%E4%B8%BA%EF%83%80%2Cc.+%E6%9C%89%E6%97%B6%E4%B9%9F%E8%AE%B0%E4%B8%BA%EF%83%801.+%E4%BE%8B%3A%E8%AF%81%E6%98%8E%7C%280%2C1%29%7C%3D%7C%5B0%2C1%5D%7C%3D%EF%83%80.jpg "构造(0,1)到[0,1]之间的双射.")
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定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一无限集, 则|A∪B|=|B|。
定理4.11:设实数a,b且a<b,则[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均为c。 实数集R的基数 (0,1)到R的双射f: f(x)=tg(x-/2) |R|=|(0,1)|=c 线段上的点数和实数轴上的点数是一样的
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整数集，非负整数集，正整数集，有理数集它们的基数是0
实数集为 设P表示无理数集 R=P∪Q, |Q|=0, 由定理4.10知， |R|=|P∪Q|=|P|, P的基数是
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作业:P76 4,5,6,7,8,11,12
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