正 弦 定 理 授课教师：pyg zhhpx ——2004年5月10日——.

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1 正 弦 定 理 授课教师：pyg zhhpx ——2004年5月10日——

2 一.引入 .C 引例： 为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A、C两点的距离？ .B .A

3 1.特例: 在Rt△ABC中,∠C=90°， ，是否成立? 初中学过锐角三角函数定义: sinA= sinB= ∠C= 90°,易证 = =

4 2．能否推广到斜三角形？ 证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中： 两边同除以 即得：

5 3．用向量证明： 证二：过A作单位向量 垂直于 两边同乘以单位向量 则： A C B 图 同理：若过C作 垂直于 得：

6 当△ABC为钝角三角形时， 设 A>90 过A作单位向量 垂直于向量 A C B 图 则 的夹角为A- 90, 与 的夹角为90-C. 与 同样可证得 这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.

7 二.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等，即 1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所 对角的正弦比相等，即：
它适合于任何三角形。 2可以证明 （R为△ABC外接圆半径） 3  每个等式可视为一个方程：知三求一

8 三、正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 例一、在△ABC中，已知 A=45 C=30 A=45 C=30 求b（保留两个有效数字）

9 求B (精确到1)和c（保留两个有效数字）
例二、在△ABC中，已知 b=28 A=40 求B (精确到1)和c（保留两个有效数字）

10 求B (精确到1)和c（保留两个有效数字）
b=50 A=38 例三、在△ABC中，已知 求B (精确到1)和c（保留两个有效数字） 解：已知 b <a ，所以B<A，因此B也是锐角.

11 三、小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解 或一解（见图示） C C C C b a b a a a b a b
a=bsinA 一解 bsinA<a<b 两解 a=bsinA 一解 一解

12 解斜三角形 讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解： A的范围 a,b关系 解的情况 （按角A分类） a＞b 一解 A为钝角或直角 a≤b
无解 a≥b 一解 a＜bsinA 无解 A为锐角 a=bsinA 一解 a＞bsinA 两解

13 四：练习 1、判断题:根据已知条件判断△ABC解的情况. (1) b=1 ，a=2，B=30o 有一解； .
掌声 掌声

14 五、作业 P , 2,3

15 再见 2004.5