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多項式的乘法 多項式的除法 自我評量
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首先,讓我們複習指數律,做為多項式乘法運算的基礎。指數律:若 x 為任意數,且 m、n 為正整數,則 xm‧xn=xm+n。
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依據交換律、結合律與指數律可得: 6‧2x=(6‧2)x=12x 3x‧6x=3‧x‧6‧x =3‧6‧x‧x=18x2
(-3x)‧4y=(-3)‧x‧4‧y =(-3)‧4‧x‧y =-12xy 也可用指數律 (xm) n =xm×n, (ax)m=amxm (-5x3)2 =(-5)2 ( x3)2 =25x3×2 =25x6
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由上面的例子可知, 單項式乘以單項式時,係數與係數相乘,文字符號與文字符號相乘。
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(4)(-2x)‧3y=(-2)‧3‧x‧y=-6xy 解
配合習作P9基礎題1 1單項式乘以單項式 計算下列各式: (1) 5x‧3x (2) 2x‧(-5x2) (3)(4x3) (4)(-2x)‧3y (1)5x‧3x=5‧3‧x‧x=15x2 (2)2x‧(-5x2)=2‧x‧(-5)‧x2 =2‧(-5)‧x‧x2=-10x3 (3)(4x3)2 =4x3‧4x3=4‧4‧x3‧x3=16x6 (4)(-2x)‧3y=(-2)‧3‧x‧y=-6xy 解
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計算下列各式: (1)(-3x)‧5x (2)(-6x2)‧3x =-15x2 =-18x3 (3)(9x2) (4) 3x‧7y =81x4 =21xy
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單項式與多項式相乘,可以用分配律來計算,如下例。
配合習作P9基礎題1 2多項式的單項式與多項式相乘 計算下列各式: (1) 2x‧(3x+2) (2)(x+8)‧(-3x)
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解 (1) 2x‧(3x+2)=2x‧3x+2x‧2 =6x2+4x (2)(x+8)‧(-3x) =x‧(-3x)+8‧(-3x) =-3x2-24x
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計算下列各式: (1) 6x‧(7x+1) (2)(-5x+1)‧6x =42x2+6x =-30x2+6x
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1-1 曾介紹過下面的分配律: ( a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 也可以利用此方法計算多項式乘以多項式,如 (x+3)(x +2): (x+3)(x+2)=x2+2x+3x+6 =x2+5x+6
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分配律也可以寫成直式,方法如下: x + 3 ×) x + 2 x2 + 3x 2x + 6 x2 + 5x + 6 x + 3 ×) x + 2 2x + 6 x2 + 3x x2 + 5x + 6 或
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3 多項式乘以多項式 計算(2x2-3x+1)(3x+5)的結果。 解 橫式 (2x2-3x+1)(3x+5)
配合習作P9基礎題 2 3 多項式乘以多項式 計算(2x2-3x+1)(3x+5)的結果。 解 橫式 (2x2-3x+1)(3x+5) =6x3+10x2-9x2-15x+3x+5 =6x3+x2-12x+5 一般而言,從最高次項開始算時,式子宜靠左對齊;從常數項開始算時,式子宜靠右對齊。
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從高次項開始算: 解 直式 從常數項開始算: 直式: 2x2 - 3x + 1 ×) x + 5 10x2-15x + 5 6x3- 9x2+ 3x 6x3 + x2 -12x + 5 2x2 - 3x + 1 ×) 3x + 5 6x3 - 9x2 + 3x 10x2 -15x + 5 6x3+ x2 -12x + 5
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解 分離係數法 分離係數法: 2 - 3+1 ×) 3+5 10-15+5 6- 9 + 3 6+ 1 -12+5 2- 3 + 1
×) +5 10-15+5 6- 9 + 3 6+ 1 -12+5 所以(2x2-3x+1)(3x+5) =6x3+x2-12x+5 2- 3 + 1 ×) 3+ 5 6- 9 + 3 10 -15+5 6+ 1 -12+5 由於 2x2‧3x=6x3,因 此積的最高項為三次,並依降冪排列得 (2x2-3x+1)(3x+5)=6x3+x2-12x+5
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利用直式與分離係數法計算(x+2)(3x2-2x+5)
直式: x +2 ×) 3x2-2x +5 3x3+6x2 -2x2-4x +5x+10 3x3+4x2+ x+10
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分離係數法: 1+2 ×) 3-2+5 3+6 -2-4 +5+10 3+4+1+10 得 3x3+4x2+x+10
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利用直式與分離係數法計算(2x2-5)(3x-6)
配合習作P9基礎題2 4 缺項的多項式乘法 利用直式與分離係數法計算(2x2-5)(3x-6) 從高次項開始算: 從常數項開始算: 解 直式: 2x2+ 0x- 5 ×) x- 6 -12x2-0x+30 6x3+ 0x2-15x 6x3-12x2-15x+30 直式 2x2 + 0x - 5 ×)3x - 6 6x3 + 0x2 -15x - 12x2 - 0x+30 6x3 -12x2 -15x+30
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分離係數法 分離係數法: 解 2+ 0- 5 ×) - 6 -12- 0+30 6+ 0-15 6-12-15+30 所以(2x2-5)( 3x-6) =6x3-12x2-15x+30 2 + 0 - 5 ×) 3 - 6 6 + 0 -15 -12 - 0 +30 6 -12 -15+30 所以(2x2-5)(3x-6) =6x3-12x2-15x+30
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利用直式與分離係數法計算(2x2+1)(x-7)
直式: 2x2+ 0x +1 ×) x - 7 2x3+ 0 x2+ x -14x2+0x-7 2x3-14x2+ x-7
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分離係數法: 2+ 0+1 ×) 1- 7 -14+0-7 2-14+1-7 得 2x3-14x2+x-7
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5 和的平方公式之運用 計算下列各式: (1)(5x+4)2 (2)(x2+3)2 (3)(x+2y)2 (1) 解
配合習作P10基礎題 3(1)(2) 5 和的平方公式之運用 計算下列各式: (1)(5x+4)2 (2)(x2+3)2 (3)(x+2y)2 (1) 解 (a +b) 2 = a2 + 2‧ a ‧ b + b2 (5x+4)2 =(5x)2 +2‧5x‧4 + 42 =25x2+40x+16 (5x)2表示 5x‧5x,結果等於 25x2。
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(2) 解 (a +b) 2 = a2 + 2‧ a ‧ b + b2 (x2+3)2 =(x2)2 +2‧ x2‧3+32 =x4+6x2+9 (3) (a +b) 2 = a2+2‧ a ‧ b + b2 (x+2y)2 = x2 + 2‧x‧2y+(2y)2 =x2+4xy+4y2
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計算下列各式: (1)(x+7) (2)(6x+1)2 =x2+14x+49 =36x2+12x+1 (3)(2x+5y) (4)(x2+1) =4x2+20xy+25y2 =x4+2x2+1
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6 差的平方公式之運用 計算下列各式: (1)(y-5)2 (2)(3x2-1)2 (1) 解
配合習作P10基礎題3(3)(4) 6 差的平方公式之運用 計算下列各式: (1)(y-5) (2)(3x2-1)2 (1) 解 ( a - b) 2 = a2 - 2 ‧a‧b+b2 (y-5)2 =(y)2-2‧y‧5+52 =y2-10y+25
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(2) 解 ( a - b) 2 = a2 - 2 ‧a ‧ b+b2 (3x2-1)2 =(3x2) 2 -2‧3x2‧1+12 =9x4-6x2+1
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計算下列各式: (1)(y-9) (2)(3-7x)2 =y2-18y+81 =9-42x+49x2 (3)(2x-5y) (4)(2x2-3)2 =4x2-20xy+25y2 =4x4-12x2+9
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(1)(x+3)(x-3) (2)(x2-9)(x2+9)
7 平方差公式的運用 計算下列各式: (1)(x+3)(x-3) (2)(x2-9)(x2+9) 配合習作P10基礎題3(5)(6) (1) 解 (a+b)(a-b)=a2-b2 (x+3)(x-3)= x2-32 = x2-9 (2) (a - b)(a + b)= a2 - b2 (x2-9)(x2+9)=(x2)2-92 =x4-81
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計算下列各式: (1)(x+7y)(x-7y) (2)(2x2-5)(2x2+5) =x2-49y2 =4x4-25
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多項式的算式中有加、減、乘、除混合運算時,其運算順序與數的四則運算相同,要先算乘、除,後算加、減。
8 以文字符號代表多項式 已知多項式 A=-x+5,多項式 B=8x2-6x+9,多項式 C=4x-3,求 A‧C+B。 A‧C+B =(-x+5)(4x-3)+(8x2-6x+9) =(-4x2+3x+20x-15)+(8x2-6x+9) =4x2+17x-6 解
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已知多項式 A=2x+3,B=x-5,C=-x+2,求 A‧C+5B。
=(2x+3)(-x+2)+5(x-5) =(-2x2+4x-3x+6)+(5x-25) =-2x2+6x-19
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9以多項式表示周長與面積 求右圖中藍色區域的周長及面積。
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如右圖,周長為 2〔x+(5x-9)〕+2〔2x+(3x-1)〕 =2(6x-9)+2(5x-1) =12x-18+10x-2 =22x-20 解
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如右圖,面積為 x‧2x+〔x+(5x-9)〕‧(3x-1) =2x2+(6x-9)(3x-1) =2x2+18x2-6x-27x+9 =20x2-33x+9 解
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求右圖中藍色區域的周長及面積。 周長為 2〔x+(x+2)〕+2〔x+ 1+(5x-4)〕 =16x-2 面積為 〔x+(x+2)〕〔x+1+(5x-4)〕-x(x+2)-(5x-4) =11x2-x-2
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我們已學習了多項式的乘法,接下來看看多項式的除法。像數的逆算一樣,例如,2×( )=18,則( )=18÷2=9
這種乘除互逆的關係,對於多項式也成立,實例說明如下。
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10 乘除互逆 求下列( )中的多項式: (1)5x‧( )=35x2 (2)5x‧( )=7x3 (1) 5x‧( )=35x2
配合習作P10基礎題 4 10 乘除互逆 求下列( )中的多項式: (1)5x‧( )=35x (2)5x‧( )=7x3 (1) 5x‧( )=35x2 ( )=35x2÷5x = = ‧x2-1 =7x (2)5x‧( )=7x3 ( )=7x3÷5x = = ‧x3-1 = x2 解
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在下列空格中填入適當的多項式: (1) 5‧_______=15x (2) 2x‧_______=6x2 (3) _______‧9x=36x3 (4) 5x‧_______= x2 3x 3x 4x2
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在例題10第1題,35x2÷5x 也可利用直式計算: 除式 …商 ……商式 除數 …被除數 ……被除式 … 5×7 ……5x‧7x …餘數 …… 餘式 所以 35x2÷5x=7x。 在上例35x2÷5x的直式除法中,35x2稱為被除式,5x稱為除式,7x稱為商式,0稱為餘式。當多項式除法的餘式為0時,稱為整除。
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多項式的除法運算中,被除式、除式、商式、餘式都是多項式,且被除式與除式採用降冪排列。
當餘式不為0時,餘式的次數須低於除式的次數。 如果被除式的次數低於除式的次數,則商式為 0,而餘式即為被除式。 例如:2÷3x的商式為 0,餘式為 2。
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配合習作 P11基礎題5(1) 11多項式除以單項式 求下列各式的商式及餘式: (1)(6x2+8x-3)÷2x (2)(5x2-4x)÷x
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所以(6x2+8x-3)÷2x 的商式為3x+4,餘式為-3。
(1) 解 8x÷2x=4 ………………2x‧3x ………8x的次數沒有低於 2x的次數,還要繼續除。 2x‧4………… ……餘式-3的次數低於除式 2x的次數,除法直式計算到此為止。 所以(6x2+8x-3)÷2x 的商式為3x+4,餘式為-3。
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(2) 解 (5x2-4x)÷x 的商式為 5x-4,餘式為 0。
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求下列各式的商式及餘式: (1)(9x2-6x+5)÷3x 商式為 3x-2 餘式為 5
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(2)(4x2-6x)÷(-2x) 商式為 -2x+3 餘式為 0
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(4x2-2x+5)÷(2x+1)的商式為 2x-2,餘式為 7。
配合習作P11基礎題 5(2) 12 二次式除以一次式(直式) 求(4x2-2x+5)÷(2x+1)的商式及餘式。 4x2÷2x=2x 解 (-4x)÷2x=-2 …(2x+1)‧2x (4x2-2x+5)÷(2x+1)的商式為 2x-2,餘式為 7。 (2x+1)‧(-2)……
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求下列各式的商式及餘式: (1)(x2-5x+4)÷(x-8) 商式為 x+3 餘式為 28
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(2)(6x2-13x-7)÷(3x+1) 商式為 2x-5 餘式為 -2 除法也可以用分離係數法來計算。
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13二次式除以一次式(分離係數法) 求(-4x2+12x+1)÷(-2x+1)的商式及餘式 - 4x2 + 12x + 1 - 4x2 + 2x 10x + 1 10x - 5 6 -2x+1 2x - 5 解 所以(-4x2+12x+1)÷(-2x+1)的商式為 2x-5,餘式為 6。
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解 我們也可以用分離係數法,將左邊的直式運算記錄如下: - 4 + 12 + 1 - 4 + 2 10 + 1 10 - 5 6 -2 +1 2 - 5
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求下列各式的商式及餘式: (1)(-6x2+11x+8)÷(2x+1) 商式為 -3x+7 餘式為 1
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(2)(-x2+11x-31)÷(-x+5) 商式為 x-6 餘式為 -1
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所以(3x2+6x+1)÷(3x+5)的商式為 x+ ,餘式為- 。
14二次式除以一次式(商式的係數有分數) 求(3x2+6x+1)÷(3x+5)的商式及餘式。 解 分離係數法 所以(3x2+6x+1)÷(3x+5)的商式為 x+ ,餘式為- 。
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求下列各式的商式及餘式: (1)(2x2+2x+1)÷(2x+3) 商式為 x- 餘式為
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(2)(x2-12x+5)÷(3x+9) 商式為 x-5 餘式為 50
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15 三次式除以一次式 求(x3+3x2-5x+1)÷(x+1)的商式及餘式。 解 所以(x3+3x2-5x+1)÷(x+1)的商式為 x2+2x-7,餘式為 8。
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解 分離係數法
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求(2x3-3x2-5x+46)÷(x+3)的商式及餘式。
餘式為 -20
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除法和乘法一樣,遇到被除式或除式缺項時,通常要補零。
配合習作P11基礎題 5(3)(4)(5)(6) 16多項式的除法(缺項補零) 求下列各式的商式及餘式: (1)(4x2+1)÷(2x+1) (2)(x3+x2+2)÷(x2+1)
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(1) 解 分離係數法 4x2 + 0x + 1 4x2 + 2x - 2x + 1 - 2x - 1 2 2x+1 2x - 1 4 + 0 + 1 4 + 2 - 2 + 1 - 2 - 1 2 2+1 2 - 1 所以(4x2+1)÷(2x+1)的商式為 2x-1,餘式為 2。
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x3+ x2+0x+2 x3+0x2+ x x2- x+2 x2+0x+1 - x+1 x + 1 (2) 解 分離係數法 1+ 1+0+2 1+ 0+1 1-1+2 1+0+1 -1+1 1+ 1 所以(x3+x2+2)÷(x2+1)的商式為 x+1,餘式為-x+1。
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求下列各式的商式及餘式 : (1)(3x2-5)÷(x+1) 商式為 3x-3 餘式為 -2
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(2)(x3+2x2)÷(x2-1) 商式為 x+2 餘式為 x+2
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整數的除法中,我們知道「被除數=除數×商+餘數」。
例如:37÷7的商為5,餘數為2,則37=7×5+2。 由例題13的計算結果,我們檢查看看多項式的除法是不是也具有「被除式=除式×商式+餘式」的結果。
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(-2x+1)(2x-5)+6 =-4x2+10x+2x-5+6 =-4x2+12x+1 即(-2x+1)(2x-5)+ 6 =-4x2+12x+1 除式 × 商式 + 餘式= 被除式
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17 被除式=除式×商式+餘式 已知多項式 A,A 除以 2x-5 得商式為 3x+6,餘式為 3,求 A。 解 被除式=除式 × 商式 + 餘式 A =( 2x-5)( 3x+6)+ 3 =6x2-3x-27
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已知多項式 A,A 除以 x2-3x+1 得商式為 x+5,餘式為 2,求 A。
=(x3+5x2-3x2-15x+x+5)+2 =x3+2x2-14x+7
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1.多項式的乘法:利用分配律與乘法公式進行多項式的乘法。
2.多項式的除法:多項式除以多項式時,先做降冪排列,再用直式算法來演算。 3.多項式的乘除法都可用分離係數法來演算,如有缺項通常必須補 0。 4.被除式=除式×商式+餘式
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1.計算下列各式的結果: (1)(-5x+3)(-4x) =20x2-12x (2)(2x+1)(3x-8) =6x2-16x+3x-8
1-3 自我評量 1.計算下列各式的結果: (1)(-5x+3)(-4x) =20x2-12x (2)(2x+1)(3x-8) =6x2-16x+3x-8 =6x2-13x-8
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(3)(4x+3)2 =16x2+24x+9 (4)(2x-5)2 =4x2-20x+25
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(5)(5x+4)(5x-4) =25x2-16 (6)(x+1)(2x-1)-(x-1)2 =(2x2-x+2x-1)-(x2-2x+1) =x2+3x-2
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2.求下列各式的商式及餘式: (1)(6y-4y2+8y3)÷2y 商式為 4y2-2y+3 餘式為 0
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(2)(x2+5x+6)÷(x+2) 商式為 x+3 餘式為 0
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(3)(16x2-10)÷(4x-1) 商式為 4x+1 餘式為 -9
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3.已知A為一多項式,且A‧(4x-3)=-20x2+47x-24,求A。
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4.已知 A 為一多項式,且 3x3+5x2+x+10=(x2+2x+1).A+11,求 A。
(x2+2x+1).A=(3x3+5x2+x+10)-11 =3x3+5x2+x-1 A=(3x3+5x2+x-1)÷(x2+2x+1) =3x-1
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冪的故事 「冪」原本的字義是「覆蓋器物的布巾」,後來引申為凡是方形的東西都叫「冪」。 我國古代的數學典籍《九章算術》卷一<方田>中,有一段敘述:「廣從步數相乘得積步。」劉徽注:「此積謂田冪,凡廣從相乘謂之冪。」田表示平面圖形,廣指的是長方形的寬,從指的是長方形的長,步是長度單位,積
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步是以平方步表示面積;因此長方形的長與寬相乘的積稱為冪。這是「冪」字第一次出現在數學典籍中。
在本章課文中提到「將計算的結果依降(升)冪排列」,這裡所說的「冪」指的是「同一數自乘若干次」,如2自乘四次,就是2的四次冪。
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an 指數 冪 底數
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