第一章 集合论 集合是最基本的数学概念，没有定义 集合是所有数学的基础 两种集合论 朴素集合论：直观描述集合的概念，有悖论

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1 第一章 集合论 集合是最基本的数学概念，没有定义 集合是所有数学的基础 两种集合论 朴素集合论：直观描述集合的概念，有悖论
公理集合论：用一组公理刻画集合的性质，有不 完备性

2 1.1 集合的概念和术语 集合的描述：一些对象的全体作为一个整体 定义1 . 集合的元素（成员） ∈， 常用大写字母表示集合，小写字母表示元素。 N：自然数的集合（自然数集） Z：整数的集合(整数集),Z+=N R：实数的集合(实数集),R+：正实数的集合（正实数集） Q：有理数的集合（有理数的集），Q+：正有理数的集合（正有理数集）

3 表示集合的方法 列（枚）举法： {1，2，3}，{1，2，3，…}，{1，2，…，100} 谓词法（概括法）： { x︳p(x) }，满足性质p的所有元素所构成的集合 { x︳x∈Z+，且x2≤100} 文氏图： 用来示意集合的图形，可直观地表示集合间的关系 矩形表示全集合，圆表示其他集合

4 空集（记为Ф）：不含任何元素的集合，是最基本的集合
有限集：只含有限个元素的集合 无限集：含无限多个元素的集合 全集（常记为U或E）： 所考虑的问题域中，所关心的所有 元素组成的集合 在数论中，全集是N

5 定义2 集合的相等 集合中元素的序无关性、重复无关性 {1，2，3}={2，3，1}={1，1，3，3，3，2}] 定义3 子集和包含关系（、）、真子集和真包含关系 （、 ） 任意集合S都有两个平凡子集：S和 文氏图对集合间的关系有很好的直观表示 ABx(xAxB) A=BAB 且BA

6 定理1 集合包含关系的性质 集合A、B、C，有 自反性：AA 反对称性：AB 且BA  A=B 传递性：AB 且BC  AC 证明：（1）对于任何A中的元素它必属于自身，所以自反性显然是成立的。 (2) 假设A≠B，则存在一个元素a，它属于A但不属于B，或者是它属于B但不属于A。若是前者，则这与AB矛盾，若为后者，则与B  A矛盾。所以A=B (3) 对于任意的a∈A，因为A  B，所以a∈B，而B  C，所以a∈C。这就得出了A  C。

7 定义4. 集合的基数S：S中的元素个数  =0， {1,3,5}=3，N =a，R=c 集合族：集合的集合，即集合中的每个元素都是集合 A1={1, 2}，A2={{1}, 2} {{1}, {1,2}}， {N, R, Q}，{A1, A2}，{A1, A2, A3,…} 下标集：集合族中的元素用带下标的字母表示，所有下标组成的 集合 {1, 2, 3}是集合族{A1, A2, A3}的下标集 N是集合族{A1, A2, A3,…}的下标集 {Ax︳x∈R, Ax={x} }=? 下标集?

8 习题 1. 用集合构造符号，给出集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}的描述。 2.对下列集合，判断{2}是否它的一个元素。 a){ x∈R | x是大于1的整数} b){ x∈R | x是某整数的平方} c){2，{2}} d){{2}，{{2}}} e){{2}，{2，{2}}} f){{{2}}}