～書報討論～ 國小數學教材分析 ─整數的數概念與加減運算

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1 ～書報討論～ 國小數學教材分析 ─整數的數概念與加減運算
指導教授：葉啟村 老師 　研究生：劉淑倩 　　學號：

2 內容綱要 定義式數學課程vs發展式數學課程 數學內容的學習：與學童發展有關的觀點 數學語言的學習：與學童概念表徵有關的 觀點 成人算則的學習
數學語言的學習：與學童概念表徵有關的　　　　　　　　觀點 成人算則的學習 教材分析 教學活動內容 教學注意事項

3 定義式數學課程 由數學定義開始的數學課程 64年版國小數學科課程對於某一個運算的引入，大多採取三步曲：
用一、二個文字題，透過具體物、半具體物及符號操作的方式，企圖解釋某一運算中每一步驟的意義。 在教師舉例示範計算規則的情形下，給予大量的純數宇的計算，使學童精熟，以作為數學工具使用。 在教師舉例示範應用的情形下，給予學童一些文字題，（又叫應用題）期使學童能把計算規則應用在情境中。

4 64年版國小數學科教科書的省思 約估近五成在學的國中生無法進行數學科的學習活動 上述三步曲，除了第二步曲尚且成功之外，其他的幾乎沒有成功
給予大量的純數字的練習題，可使學童養成對於計算的反射性行為：但由於沒有理解，學童幾乎被訓練成為計算器 依示範─模仿的模式設計的學習，是死背的假學習，少有概念的形成與發現

5 發展式數學課程 理論架構：發展式數學課程是依一個一個概念為發展主軸，其主要成份為： （1）如何發展學童的某一概念
（2）與此概念有關的數學語言之學習 （3）與此概念有關的成人算則之學習

6 傳統數學課程與發展式數學課程之比較 傳統數學課程 發展式數學課程 教學主張 下定義，解說概念，教師示範解題，學童模仿。
教師布題，學童自行解題，以形成概念，引入數學語言做為表徵。 概念發展 概念未必形成與提昇，即概念未必有發展。 概念肯定有形成與提昇，即概念必有發展。 　　　　缺點 (1)大多數學童所習得的數學符號不具意義。 (2)養成學童在在面對新問　題時，不會主動解題。 (3)教學過程中，會造成部　分學童沒有跟上進度。 (1)由於學童使用自己的解題策略，當然顥得較為笨拙。 (2)學習成果較難速成，故必須面對家長、學校主管及同事的質疑 優點 成績表現有速效，故易於維持教師的聲望。 (1)概念有發展，智力必然成長。 (2)真正的理解，可以長久記憶。 (3)養成主動探索、求解的習慣。 備註 誇張的說，像是在餵學毒藥來維持學習。 教書者的良心，為了學童日後的學習著想。

7 數學內容的學習：與學童概念發展有關的觀點
發展式數學課程數與計算教材的重要觀點摘要： 關心的議題摘要 主要摘要 1、關心學童的某一概念發展、形 成與提昇 整數的加法概念若未形成，學 習算式及計算規則是無意義的 2、「概念是什麼？」必須有所主 張，並取得共識。 加法概念是指學童在加法的解題　活動中所抽離的共同性質 3、透過什麼手段來發展學童的某 一概念？ 強調學童需自行解題，概念才能 　發展 4、教師是否應了解什麼是整數、 分數、小數的加法、減法、乘 法、除法問題類型 ？ 如何發展學童的整數加法概念 5、教師應否了解學童在面對某一問題類型時，有哪些不同的策略？ 學童採用不同策略是因為解題的概念發展不同的緣故

8 名詞釋義 數字：指數的書寫符號，如「5」… 數詞：指數的口語符號或語音，如「五」 數碼：指0、1、2…、9 的十個符號
標準數詞序列：按照社會文化約定的排列方式，唱出一連串的語音，各個語音皆為數詞，如「一、二、三…」 基數：正整數數詞或數字可以用來標示某一群體物件的總量，如「7顆糖果的集合」，此時「7」是基數 序數：正整數用來標示個體在群體中的位置，或個體與群體中其他個體的次序關係，如「排在第5位的是王小明」，此時「5」是序數

9 數概念定義 羅素(1919)：一個給定類之基數乃是與此給定類相似之所有類所成的集合。
　甯自強(1997)解釋羅素的主張為：「3」是由這個等價類：「三個人」、「三張椅子」…等所抽象而得的。 皮亞傑(1965)經由對兒童的觀察指出，基數概念與序數概念是同時產生的。 劉秋木根據「人們要經過數數的過程才能確定一個集合(或一堆物件)的有多少元素(總量)」，稱「數是一個計算事物的系統(計數系統)。 甯自強認為，由心理學的觀點來看，數概念是由「1」概念的聯合再加以聚合而成的集聚單位；而「1」概念則由測量活動中的行為，或是數數動作的內蘊化所得的。

10 本書作者的數概念觀點 椅子的概念 框內這些物件的共同特性稱為 乘涼的概念 5的數概念 加法概念 全世界人所公認一張張的椅子
全世界人所公認一個一個「乘涼」的實例 所有五個元素的集合，例如五個蘋果… 所有一個一個加法問題的解題活動

11 概念的性質 個別差異：(1)數量和式樣 (2)觀察力 不同 成長：(1)經歷增加 (2)觀察力更敏銳
表徵的主觀：下圖為人類經常使用的表徵系統 人們常使用語言、文字或符號等來描述左列物件的性質，其過程稱為「表徵(動詞)」。 物件(實物、事件、實例、概念…) 教師或課本 (失真) 表徵 學童 左列的大多數物件，其性質幾乎無窮，人類在「表徵」的過程中，必是主觀的選取某些性質來描述此物件，並捨去大部份的特性。 (傳遞) (產品) 可行的路徑(未來的教育模式)

12 如何發展學童的數概念 學童數概念發展的起點：唱數活動與數 數活動 唱數活動：兒童約在二至四歲開始模仿大人，學會唱「標準數詞序列」
學童數概念發展的起點：唱數活動與數　　　　　　　　　　 數活動 唱數活動：兒童約在二至四歲開始模仿大人，學會唱「標準數詞序列」 數數活動：可以使用所唱的「標準數詞序列」當作工具來測量一堆「被界定量」的個數的活動或能力。 唱數活動是數數活動的預備活動，所唱的標準數詞序列是數數活動的工具。 透過「數數活動」的累積得以使學童數概念持續的發展

13 依學童運思發展的不同階段決定引入整數的範圍
甯自強認為學童對於「53」的數概念品質就有： (1)數的前置概念： 「53」代表由1開始對應標準數詞序列到具體事物的最後一項。 (2)數的起始數概念： 「53」代表由53個「1」所合成的新集聚單位。 (3)內嵌數概念： 「53」代表由一個集聚單位，比如48，再往上累積5個「1」，所合成的新集聚單位，此53可內嵌其他數(如48)。 (4)巢狀數概念： 「53」代表可由5個「10」和3個「1」所合成的新集聚單位。

14 不同數概念品質之下的學童，面對數學問題，所表現的運思方式也會不同： (1)起始數概念之前：序列性合成運思 (2)內嵌數概念：累進性合成運思
(3)巢狀數概念：〈早期〉部份全體運思 　　　　　　　 〈後期〉測量運思 　 82年部編本引入整數認識的次序 年級 一上 一下前段 一下後段 二上後段 二下後段 三上後段 三下 後段 四上 前段 四 下 六下 整數範圍 20內 50 內 100內 200內 1000 內 2000 10000 100000 億以內 億│兆

15 命名活動 　當學童在首次接觸一個新物件(例如：實物、事件、新數量、概念…)時，教師先不要告訴學童此新物件的名稱叫什麼，而是讓學童自己嘗試說說看，這樣讓學童嘗試說出新物件稱呼的活動叫「命名活動」。 命名活動的功能： (1)加速學童數概念的形成和提昇。 (2)培養學童的類推能力。 教師應注意：在命名活動中學童所嘗試的命名應受到尊重，不做優劣的比較和批判，且要多鼓勵，以利下次的命名活動得以進行。

16 整數的說讀聽寫做活動 說 寫 做 做 聽 說(讀) 指具體物（或圖象）、數詞與數字三者之間的轉換活動。（圖示如下） 具體物或圖象表徵 數詞
　指具體物（或圖象）、數詞與數字三者之間的轉換活動。（圖示如下） 具體物或圖象表徵 說 寫 做 做 聽 數詞 數字 說(讀)

17 二個一數、五個一數、十個一數、百個一數、千個一數…的活動
位值概念 　位值概念是印度─阿拉伯記數系統的重要特性，此記數系統運用0～9十個數碼，配合書寫時的相關位置，組合起來形成數字，來描述數量。而像這樣利用相關位置來溝通數字中相關數碼的意義，稱之為「位值概念」。 位值概念在國小數學教材的地位，本書作者認為只要進行以下即可： 　(1)先不管位值概念的情境下，進行「唱數」、 「數數」 及 「說讀聽寫做」等活動來認識「數字」及其書寫。 (2)待這些數字應用自如之後，才幫學童澄清或提醒其注 　　意：各個位置的數碼所代的數值是不同的。 (3)並同時給予各個位置「位名」。 兒童數概念留待解決整數加減問題的活動中繼續成長

18 如何發展學童的整數加法概念 整數加法概念的本質 整數加法問題類型
　「整數加法概念」是指：對於一個一個各類型的整數加法問題，所引發的解題活動，而由這些解題活動所抽出的共同性質。 整數加法問題類型 1、添加型情境文字題 2、併加型情境文字題 3、加法標準算式填充題 4、被減數未知的情境文字題 5、被減數未知的算式填充題

19 透過什麼手段來幫助學童形成與發展整數加法概念
　發展式數學課程主張：學童必須親自用自己的方法解決一個一個的整數加法問題才可以形成「整數加法概念」。 「整數加法概念」的教學流程 教師布題 學生解題 發表與溝通討論 依據整數認識的引入數量範圍進行一波一波的合成分解活動

20 加速學童「整數加法概念」 發展機制 解題時要求學童整理「解題草稿」或「解題過程紀錄」
加速學童「整數加法概念」　發展機制 解題時要求學童整理「解題草稿」或「解題過程紀錄」 解題後要求學童發表其「解題過程」，並與學童解題過程的合理性 解題後要求學童對於某同類問題做出算式摘要紀錄

21 數學語言的學習：與學童概念表徵有關的觀點
整數加法與減法問題有關的種格式紀錄引入時機及流程 問題紀錄 學童自行解題 算式摘要紀錄 解題過程紀錄 形成解題活動類型之後 算式摘要紀錄：表徵問題、結果及解題活動方式 解題過程紀錄：溝通、反思及加速加法算式成為　　　　　　　工具 問題紀錄：表徵原文字題的工具〈算式填充題〉 　一、介紹工具 　二、熟悉工具 　三、使用工具 列式活動：用「標準算式填充題」紀錄問題再解題

22 成人算則的學習 成人算則的意義：指的是某類問題，社會上的大多數成人在面對所採用的算法。 成人算則的性質：
一、成人算則的由來：經各時期的社會文化傳承而來的，又稱「文化傳承的解法」。 二、成人算則不易理解 三、社會文化中「又經濟又有效率」的解法，並不見得是個人「有效」的解法。 四、成人算則每一步驟的意義，常有不同的解釋 五、成人算則會隨時空因素而改變

23 發展式數學課程對於成人算則的立場 一、主張：在學童可以理解和上課時間夠用兩條件下，可以引入 二、成人算則的功能： 提昇解題效率
　一、主張：在學童可以理解和上課時間夠用兩條件下，可以引入 　 二、成人算則的功能： 提昇解題效率 理解「成人算則」可使學童心智成長 和成人溝通與比較後增強學童的信心 　 三、建議： 引入後，不必強求統一的觀點 引入過程中可限制，引入後不可再限制解題策略

24 整數加法成人算則的意義 82年部編本的觀點： 一、將使用算則〈混用兩單位〉視為解題方式 的一種，而非唯一的一種。
　　的一種，而非唯一的一種。 二、將使用算則視為進行混用兩階單位的合成分 　　解活動，也就是透過解決「幾個十幾個一加 　　〈減〉幾個十幾個一是幾個十幾個一」的活 　　動，來解決兩位數的加減問題，對於先進行 　　高位或低位的合成〈分解〉活動，並不予以 　　強制規定。

25 成人算則引入的流程〈三階段四段落〉 段落一 段落二 段落三 段落四 學童自行解題 解決以「壹」為計數單位的合成分解問題
解決以「拾」為計數單位的合成分解問題 解決以「幾個十幾個一加(減)幾個十幾個一是幾個十幾個一」的問題 用「幾個十幾個一加(減)幾個十幾個一是幾個十幾個一」方式來解決二位數加(減)二位數的問題 用「幾個十幾個一加(減)幾個十幾個一是幾個十幾個一」方式來解決二位數加(減)二位數的問題，並用直式記錄解題過程 　學童自行解題

26 82年版課程標準與九年一貫課程綱要「數與計算」的教材發展階段
類別 82年版國小課程標準教材綱要 九年一貫 能力指標 整數概念 (一年級)一百以內各數的概念 (一年級)分解與合成的活動和經驗 (一年級)數線的初步概念 (二年級)五十～一千各數的概念與位值 (三年級)五百～一萬各數的概念與位值 N-1-1能以具體的量、聲音、圖像、數字，透過說讀聽寫等活動，表現2000以內的數，並了解其概念 (一年級)十進位和位值的認識 (一年級)認識及使用一元、五元、十元、五十元、一百元 (一年級)認識一元和五元、十元、五十元、一百元間的關係 (二年級) 一元和五元、十元、五十元、一百元間的化聚 (二年級)認識及使用五百元、一千元 (二年級)認識五百元、一千元間的關係 (二年級) 五百元、一千元間的化聚 (二年級) 五十～一千各數的化聚與進位 (三年級) 五百～一萬各數的化聚與進位 N-1-2能掌握10、100、1000和1及100和10之間的關係，做數的二階單位化聚 (資料來源：

27 類別 82年版國小課程標準教材綱要 九年一貫能力指標 整數概念 (一年級)十進位和位值的認識 (二年級)五十～一千各數的概念、化聚、
　　　 進位與位值 (三年級)五百～一萬各數的概念、化聚、 進位與位值 (四年級)億以下各數的概念、進位與位值 N-2-1能延伸非負整數的認識到十萬並認識位值概念 (六年級)億以上各數的概念； 整數系的統整 N-3-1能延伸非負整數的認識 (資料來源：

28 類別 82年版國小課程標準教材綱要 九年一貫能力指標 整數加減 (一年級)分解與合成的活動和經驗 (一年級)加法和減法的意義
(一年級)基本加減法 (一年級)兩步驟的加減問題 (二年級)二位數的加減法 (二年級)兩步驟的加、減、乘問題 (三年級)三、四位數的加減法 (四年級)電算器的介紹與應用 N-1-3能理解加法、減法的意義，解決生活中有關三位數以內的加、減法問題，並運用電算器加以檢驗 N-2-3能理解加、減的直式算則 (資料來源：

29 概數 與 估算 計算基本事實 類別 82年版國小課程標準教材綱要 九年一貫能力指標 (二年級)二位數的加減估算 (六年級)概數的認識
概數 與 估算 (二年級)二位數的加減估算 (六年級)概數的認識 (六年級)概數取法的合理性 (六年級)概數的取法介紹 N-1-6能在生活中，經驗概數的意義 N-2-4能用四捨五入、進位、捨去等方式對一個數量取概數，並利用概數作簡單的估算 計算基本事實 (一年級)加法和減法的意義 (一年級)基本加減法 (一年級)兩步驟的加減問題 (二年級)二位數的加減法 (二年級)兩步驟的加、減、乘問題 (三年級)三、四位數的加減法 N-1-9能理解加、減、乘的意義，並逐步熟悉加、減、乘的基本事實 (資料來源：

30 82年版課程標準與九年一貫課程綱要「關係」的教材發展階段
類別 82年版國小課程標準教材綱要 九年一貫能力指標 數列 (一年級)從兩個一數、五個一數、 十個一數的活動中認識簡單數列 (二年級)奇數與偶數 (三年級)發現數列的簡單規律 N-2-18能察覺簡單數列之樣式 代數意義 不包含「代數」部分，但引入算式填充題(以( )或來表徵未知量)來表徵問題 A-2-1能將生活情境中簡單問題表徵為含有、  、甲、乙、?…等式子，並能解釋式子與原問題情境的關係 列式解題 雖未列出相關概念，但都有「透過具體操作，解決來自生活中已列出的算式填充題」的教材 A-1-1能透過具體操作，解決來自生活情境問題中已列出的算式填充題 雖未列出相關概念，但都有「透過具體表徵，解決來自生活中已列出的算式填充題」的教材 A-2-2能透過具體表徵，解決來自生活情境問題中已列出的算式填充題 (資料來源：

31 教學活動 整數的認識(含基數、序數、關係) 整數範圍 命名活動 說讀聽寫做(表現) 1~10(基數) 唱數 (標準數詞序列) 一對一對應方式
數數(點數情境要多樣化)、表徵活動(實物、具體物、圖象、數詞、數字) 拿走至「沒有」 教法與1~10同，但不需做數活動 1~10(序數) 標示活動(數詞用來指示群體中特定位置的物件，即代表第個） 1~10(比較) 透過具體物量的比較，進行兩堆物件間的一對一對應活動，希望學童能將個數的比較結果推展至數詞的關係上，體驗5個比3個多 11~20 與1~10教法同 21~50 21~30：溝通 31~50：自行命名(類推) 點數需窮盡，情境可以多樣化 做數情境可以(不必)多樣化 51~100 又十（需借助具體物）　又一(需窮盡) 點數與做數情境可以不必多樣化 （具體物：吸管、積木、錢幣和圖象…） 位值概念 加強對「十」單位的認識，進行計數活動 101~200 又一(101~109) 又十 點數不必窮盡，情境亦不必多樣化（混用兩階單位的計數與做數活動）

32 定位板 整數範圍 命名活動 說讀聽寫做(表現) 201~2000 又百(百格板)；又十；又一 加強對「過百」數量的命名
討論數詞「1000」的記法並形成共識；創作圖象來表徵具體物 2001~10000 又千(千格板)；又百；又十；又一 以圖象來進行做數活動 定位板 (64年版)第二冊就出現個位、十位的位名，第三冊就引入定位板 (82年版)第六冊才介紹個位與十位的位名，第七冊才引入定位板 定位版是一種有效溝通位值概念的教具，討論重點如下： (1)在沒有定位板的情況下,必須在缺位上補0 (2)每個位置上只能書寫一個數碼 定位版的角色： (1)具體地呈現各個被計數單位，協助學童掌握位值概念 (2)用算則解大數量問題時，協助學童形成直式紀錄 (3)協助學童在直式紀錄上的討論與溝通 10000以上 (1)以多單位 (即一、十、百、千、萬)來命名 (2)先整萬數量進行命名 (3)再混合使用萬、十萬、百萬、千萬等被計數單位，來描述整 　萬數詞所指示的數量 (4)最後在認識新位名，建立定位板以掌握印-阿系統後，進行八 位數以內數量的命名及數字的書寫活動 (5)十進表示法：526=5100210 6 1

33 萬進結構與十進結構 萬進結構：我國的命數法，比較強調萬進結構，是由個位開始，往左每四位一撇，以「壹」、 「萬」、 「億」、 「兆」…為計數單位。 十進結構：以「一」、 「十」、 「百」、 「千」、 「萬」、 「十萬」、 「百萬」、 「千萬」、 「億」、 「十億」、 「百億」、 「千億」、 「兆」 、 「十兆」 、 「百兆」 、 「千兆」 …為計數單位。 以「 」為例： 萬進結構：讀做二千四百零五「兆」，八千七百七十一「億」，三千「萬」，九千零三十二〈 「壹」〉 十進結構：讀做二「千兆」四「百兆」零「十兆」五「兆」八「千億」七「百億」七「十億」一「億」三「千萬」 零〈「百萬」、 「十萬」、 「萬」〉九千零三十二〈 「一」〉

34 整數的加減運算 數數策略 加減策略(背誦) 成人算則(幾個十和幾個一加(減)幾個十和幾個一) (1)2次做數，1次點數
(2)1次做數，1次點數 (3)0次做數，1次點數 加減策略(背誦) 成人算則(幾個十和幾個一加(減)幾個十和幾個一) 學童需具備： 　(1)「十」單位的計數能力 (2) 「十」、 「一」的化聚能力 注意：成人算則是一種特殊策略，引入時可限制解題策 　　　 略，但引入後，教師不宜再限制

35 整數的加減運算紀錄 解題痕跡與解題紀錄 算式紀錄 等號的意義
解題反省與口述解題過程非格式化地記錄解題過程與結果格式化(算式)地記錄解題過程與結果 等號的意義 (1)得到(變成) (2)兩邊一樣多(數量的比較活動) (3)等價關係(同時滿足) 反身性：甲＝甲，乙＝乙 　　對稱性：甲＝乙，乙＝甲 　　遞移性：甲＝乙，乙＝丙，則甲＝丙

36 算式填充題(問題紀錄)和列式(標準算式填充題)
直式紀錄 ４９ 題目  ２２ ５９  １０ 解題過程視窗 ６９  　２ 答案 ７１

37 教學注意事項 加減計算常見的錯誤 補救策略 沒有進位(加)和退位(減) 不瞭解加減法的意義，導致錯誤的運算 數字較大時，容易計算錯誤
不瞭解位值的意義 不瞭解0的意義，遇被減數帶有0時，不會計算 補救策略 設計適當情境，加深加減法的概念 透過教具操作，熟練加減法的基本運算 加強位值概念的指導 加強指導「0」的意義 (資料來源：

38 報告完畢！ 　　謝謝您的指教！