27.2.3相似三角形的周长与面积.

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1 27.2.3相似三角形的周长与面积

2 如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为
4：5，那么该怎么切割呢？ A B C

3 一 温故知新

4 复习回顾 （1）相似三角形有哪些判定方法？ （2）相似三角形有什么性质？根据是什么？ 相似多边形呢？ 对应角相等， 对应边成比例；
定义，预备定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，(HL) （2）相似三角形有什么性质？根据是什么？ 相似多边形呢？ 对应角相等， 对应边成比例； 对应角相等， 对应边成比例； 根据 定义； （3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 （4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则ΔA/B/C/ 与ΔABC的相 似比是多少？

5 二 探究新知

6 思考 相似三角形周长的比等于相似比。 相似多边形周长的比等于相似比。 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
A B C A/ B/ C/ 相似三角形周长的比等于相似比。 相似多边形周长的比等于相似比。

7 想一想 三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段： 高线，角平分线， 中线 高线 中线 角平分线

8 思考 相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系？ ①相似三角形的对应高线之比等于相似比。
例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D， A / D / B / C /于D / ， 求证： A B C D A / B / C / D / ①相似三角形的对应高线之比等于相似比。

9 角平分线 ②相似三角形的 对应角平分线之 比，中线之比， 都等于相似比。 中线

10 思考？ ①相似三角形面积的比等于相似比的平方. （1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们的面积比是多少？ A B C D

11 探究 （2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k2，它们的面积比是多少？ 分别连接AC，A'C'
则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'， 相似多边形面积的比等于相似比的平方．

12 ②相似多边形面积的比等于相似比的平方. （2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /，相似比为k，它们的面积比是多少？ A D

13 相似三角形(多边形)的性质: 中线 （1）相似三角形对应的 比等于相似比. 高线 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形
（1）相似三角形对应的 比等于相似比. 高线 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形

14 如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为
你会解决引入中的问题了吗? 如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？ A B C D E

15 归纳 对应角相等 相似三角形的性质 对应边成比例 相似比等于对应边的比 对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方

16 三 运用新知

17 练习： （1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 ，对应边上中线之比 ， 面积之比为 。
则周长比为 ，对应边上中线之比 ， 面积之比为 。 （2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4， 则周长之比为 ，相似比 ，对应边上的 高线之比 。 2：3 2：3 4：9 3： 2 3：2 3：2

18 A 2.把一个三角形变成和它相似的三角形， （1）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的________倍。
（2）如图在等边三角形ABC中，点D、 E分别在AB、AC边上，且DE∥BC, 如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么△ADE 的周长等于_______cm。 3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米， （1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是 ——————。 （2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是_____________。 A D E B C

19 例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是48，求ΔDEF的周长和面积。

20 例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
例题分析 例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积． A 解：在△ABC和△DEF中， ∵ AB＝2DE，AC＝2DF D ∴ B E F C 又 ∠D＝∠A ∴ △DEF∽△ABC，相似比为

21 （×） （√） 基础练习 1、判断题： （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。 （×）

22 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍；
练习 1.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍． （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5 扩大5倍周长＝5原周长

23 （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．
解： 一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9 边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积

24 2、如图，△ABC∽△A`B`C`，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm，B`C`=24cm，
求BC、AC、A`B` 、 A`C`的长。 A` B` C` A B C

25 4.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．

26 5. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）
解： 两块蛋糕是相似的 相似比是1：2 面积的比为 设半径是30cm的蛋糕够x人吃 1：4＝2：x x = 8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．

27 6. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
解： 放缩比例为 面积发生了

28 7. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1
7.如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？

29 8.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边 原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，
由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原 绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是: 被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？ D E 30m 18m B C A

30 (1)S △ADE : S △ABC = 1:4 (2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3
5、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥ BC，则: (1)S △ADE : S △ABC = 1:4 (2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3

31 * 5、如图,在△ABC中,D、F是AB的三 等分点， DE∥FG ∥ BC，则:
(1)S △ADE: S △AFG : S △ABC = 1:4:9 1:3:5 (2)S △ADE: S 梯形DFGE: S 梯形FBCG =

32 6、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积 等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的 相似比是_______

33 *6、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积,梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则△ADE与△ABC的
相似比是_______； △AFG与△ABC的 相似比是_______. B A D E C F G

34 7、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。

35 8、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2,求S△CDF？
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36 四 课堂小结

37 相似三角形(多边形)的性质: 中线 （1）相似三角形对应的 比等于相似比. 高线 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形
（1）相似三角形对应的 比等于相似比. 高线 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形

38 基本图形： 1.等分边长： B A D E C F G 2.等分面积 B A D E C

39 五 课后拓展

40 1、如图,在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点。
(1)找出图中的各对相似三角形； (2)各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？ D C B O A E (3)若S△DOE=1cm2,求S△OBC ,S△OEC 和S△ABC. 初中数学资源网

41 S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（ ） A、 B、 C、 D、 B
2.如图， ABCD中，E为AD的中点，若 S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（ ） A、 B、 C、 D、 B B A E D C F

42 3.如图，S□ABCD=2008cm2，点E是平行四边形ABCD 的边AB的延长线上一点，且 ，那么 S△BEF = .

43 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
4、 如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？ 解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。 ∵PN∥BC ∴△APN∽ △ABC ∴ A E P N AE AD = PN BC C B Q D M 因此 ，得 x=48（毫米）。答：----。 80–x 80 = x 120

44 5、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD=8cm,BC=24cm,
(1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y与x的关系式。 A B C N H E F D G (３)你能求出矩形FGHN 的面积y的最大值吗？