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1.3.1 自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 1.3 函数的极限(110) 自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 1.3 函数的极限(110)

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3 自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 1.3 函数的极限(110)

4 自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 1.3 函数的极限(110)

5 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 1.3 函数的极限(110)

6 1. 函数极限的定义: 1.3 函数的极限(110)

7 2. 另外两种情形: 1.3 函数的极限(110)

8 3. 几何解释(动画): 1.3 函数的极限(110)

9 例 1 1.3 函数的极限(110)

10 自变量趋向有限值时函数的极限 1.3 函数的极限(110)

11 1. 函数极限的定义: 1.3 函数的极限(110)

12 注意: 2.几何解释: 1.3 函数的极限(110)

13 例 2 例 3 1.3 函数的极限(110)

14 例 4 函数在点x=1处没有定义. 1.3 函数的极限(110)

15 例 5 1.3 函数的极限(110)

16 3.单侧极限: 例如, 1.3 函数的极限(110)

17 左极限 右极限 注意: 1.3 函数的极限(110)

18 例 6 左右极限存在但不相等, 1.3 函数的极限(110)

19 函数极限的性质与运算法则 1. 唯一性 1.3 函数的极限(110)

20 1.3 函数的极限(110)

21 2. 局部有界性 1.3 函数的极限(110)

22 1.3 函数的极限(110)

23 3. 不等式性质 定理(保序性) 推论 1.3 函数的极限(110)

24 定理(保号性) 推论 1.3 函数的极限(110)

25 4. 子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系) 定义 定理 4 1.3 函数的极限(110)

26 1.3 函数的极限(110)

27 函数极限与数列极限的关系(Heine 定理)
例如, 函数极限与数列极限的关系(Heine 定理) 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在且相等。 1.3 函数的极限(110)

28 例 7 1.3 函数的极限(110)

29 二者不相等, 1.3 函数的极限(110)

30 5. 极限运算法则 定理 5 由无穷小运算法则,得 1.3 函数的极限(110)

31 1.3 函数的极限(110)

32 有界, 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 1.3 函数的极限(110)

33 6. 求极限方法举例 例 8 1.3 函数的极限(110)

34 小结: 1.3 函数的极限(110)

35 例 9 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 1.3 函数的极限(110)

36 例 10 (消去零因子法) 1.3 函数的极限(110)

37 例 11 (无穷小项分离法) 1.3 函数的极限(110)

38 无穷小项分离法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
小结: 无穷小项分离法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 1.3 函数的极限(110)

39 例 12 1.3 函数的极限(110)

40 例 13 左右极限存在且相等, 1.3 函数的极限(110)

41 7. 求函数极限的夹逼准则 准则 I和准则 I’统称为夹逼准则. 1.3 函数的极限(110)

42 两个重要极限 1、 1.3 函数的极限(110)

43 1.3 函数的极限(110)

44 例 14 1.3 函数的极限(110)

45 2、 (1) 证明 1.3 函数的极限(110)

46 (2) 证明 1.3 函数的极限(110)

47 综上可得: 1.3 函数的极限(110)

48 例 证明 1.3 函数的极限(110)

49 例 16 例 17 1.3 函数的极限(110)

50 无穷小的比较 1、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 1.3 函数的极限(110)

51 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
特殊情形:正无穷大,负无穷大. 注意: 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 1.3 函数的极限(110)

52 无界, 1.3 函数的极限(110)

53 1.3 函数的极限(110)

54 2、无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 1.3 函数的极限(110)

55 例如, 注意: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 1.3 函数的极限(110)

56 3、无穷小与函数极限的关系: 必要性 充分性 1.3 函数的极限(110)

57 4、无穷小的运算性质: 意义: 1.将一般极限问题转化为无穷小问题; 性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证
1.3 函数的极限(110)

58 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1.3 函数的极限(110)

59 性质 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 1.3 函数的极限(110)

60 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 1.3 函数的极限(110)

61 5、无穷小与无穷大的关系 定理7 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;非零无穷小的倒数为无穷大. 1.3 函数的极限(110)

62 意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
1.3 函数的极限(110)

63 6、无穷小的比较 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1.3 函数的极限(110)

64 1.3 函数的极限(110)

65 例 18 例 19 1.3 函数的极限(110)

66 常用等价无穷小: 函数的近似表达式: 例如, 1.3 函数的极限(110)

67 等价无穷小替换 定理 8 (等价无穷小替换定理) 1.3 函数的极限(110)

68 例 20 注意: 千万不能滥用等价无穷小代换! (对于代数和中各无穷小项不能分别替换!) 1.3 函数的极限(110)

69 例 21 1.3 函数的极限(110)

70 例 22 1.3 函数的极限(110)

71 小结与思考题1,2 函数极限的统一定义 (见下表) 1.3 函数的极限(110)

72 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 1.3 函数的极限(110)

73 思考题 1.3 函数的极限(110)

74 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. 1.3 函数的极限(110)

75 课堂练习题 一、填空题: 1.3 函数的极限(110)

76 课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)

77 1.3.6 小结与思考题3 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a. 多项式与分式函数代入法求极限;
小结与思考题3 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a. 多项式与分式函数代入法求极限; b. 消去零因子法求极限; c. 无穷小项分离法求极限; d. 利用无穷小运算性质求极限; e. 利用左右极限求分段函数极限. 1.3 函数的极限(110)

78 思考题 在某个过程中,若 有极限, 无极限,那么 是否有极限?为什么? 1.3 函数的极限(110)

79 思考题解答 没有极限. 假设 有极限, 有极限, 由极限运算法则可知: 必有极限, 与已知矛盾, 故假设错误. 1.3 函数的极限(110)

80 课堂练习题 一、填空题: 1.3 函数的极限(110)

81 二、求下列各极限: 1.3 函数的极限(110)

82 课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)

83 小结与思考题4 1. 两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 . 2. 两个重要极限 1.3 函数的极限(110)

84 思考题 求极限 1.3 函数的极限(110)

85 思考题解答 1.3 函数的极限(110)

86 课堂练习题 一、填空题: 1.3 函数的极限(110)

87 二、求下列各极限: 1.3 函数的极限(110)

88 1.3 函数的极限(110)

89 课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)

90 1.3.6 小结与思考题5 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
小结与思考题5 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: (1) 无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小数; (2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小. (3) 无界变量未必是无穷大. 1.3 函数的极限(110)

91 思考题 1.3 函数的极限(110)

92 思考题解答 不能保证. 1.3 函数的极限(110)

93 课堂练习题 一、填空题: 1.3 函数的极限(110)

94 课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)

95 3. 无穷小的比较: 4. 等价无穷小的替换: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
3. 无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 4. 等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 1.3 函数的极限(110)

96 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗? 1.3 函数的极限(110)

97 思考题解答 未必. 例当 时 都是无穷小量 不存在且不为无穷大 故当 时 1.3 函数的极限(110)

98 课堂练习题 1.3 函数的极限(110)

99 1.3 函数的极限(110)

100 课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)

101 1.3 函数的极限(110)


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