Copula function.

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1 Copula function

2 F-1(u)=inf { s : F(s)≧t, 0<t<1 }
Copula觀念 第一節 Copula與累積機率分配函數關係 1. 累積機率分配函數簡介 若有兩個隨機變數X與Y，其邊際機率分配函數分別 則其累積機率分配函數定義為 由於邊際機率分配函數是多對一函數，故定義一般化邊際 機率分配函數的反函數(Generalized inverse of a distribution function)為 P(X≦x) ≡ FX(x) P(Y≦y) ≡ FY(y) P(X≦x , Y≦y) ≡ F(x,y) F-1(u)=inf { s : F(s)≧t, 0<t<1 }

3 Copula觀念 在此 F-1(u) = inf { s : F(s)≧u, 0<u<1 }= y
F(Z) Z 在此 F-1(u) = inf { s : F(s)≧u, 0<u<1 }= y 若F(z)是遞增函數，F(y)=u，則如同一般的反函數觀念， F-1(u) =y。(一對一函數)

4 Copula觀念 2. 邊際機率分配函數特性 令 P(X≦x) ≡ FX(x) = g 且 U1≡ FX (X)
則 g = P(X≦x) = P [ FX(X) ≦ FX(x) ] (一對一函數具 有此特性) = P [ U1 ≦ FX(x) ] = P [ U1 ≦ g ] 換言之 P [ U1 ≦ g ] = g 故U1為Standard Uniform隨機變數。同理，若令 P(Y≦y) ≡ FY(y) = d 且 U2≡ FY (Y) 則 d = P(Y≦y) = P [ FY(Y) ≦ FY(y) ] = P [ U2 ≦ FY(y) ]= P [ U2 ≦ d ] 換言之 P [ U2 ≦ d ] = d 故U2亦是Standard Uniform隨機變數

5 Copula觀念 3. Copula概念 在拉丁文中，Copula代表著”Connecting”或是”Linking”，
Dependence Function (Deheuvels, 1978)

6 Copula觀念 4. Copula與聯合累積機率分配函數關係 在前述中已知 U1≡ FX(X) 與U2 ≡ FY(Y)
均為Standard Uniform隨機變數。因此 F(x,y) = P(X≦x, Y≦y) = P [ FX(X) ≦ FX(x) , FY(Y) ≦ FX(y)] = P [ U1≦ FX(x) , U2 ≦ FY(y) ] = C(FX(x), FY(y)) 由上式中可知，在給定邊際機率分配函數與Copula之後，就 可以獲得聯合累積機率分配函數。換言之，不同的Copula與 不同邊際機率分配函數可以組成無限多種X與Y之間的聯合累 積機率分配函數(亦即X與Y彼此間關聯情況)

7 Copula觀念 5. Sklar定理 (Sklar，1959) 若F(x,y)是聯合累積機率分配函數且FX與FY 是邊際機率分配
函數，則存在唯一的copula，其定義域為 FX定義域× FY 定義域，並滿足C(FX(x) , FY(y)) = F(x,y) 利用上述定理我們能將一個多維的分配，拆成單維 的邊際函數及相關性的結構(dependent structure)兩個部 分，實際的推導方式如下： 其中 f(x,y)為X與Y的聯合機率密度函數，c(u1,u2) 為Copula的密度函數。u1= FX(x)，

8 Copula觀念 由上述公式可知，可將一個聯合機率密度函數f (x, y)拆解成兩部分，前一部分c(u1, u2)為Copula的密度函數，用以規範變數X與Y之間的關聯結構，即決定變數間共同移動(co-movement）關係，可視為相關性結構部分 後一部分f(x)f(y)則為單純的邊際機率密度函數之乘積。可先決定各個個別風險變數的(不同)邊際分配函數，並分別進行其個別邊際分配函數之配適及參數之估計(利用一般的統計方法：動差法、最大概似估計法…)後，再另外配適出合適的相關性結構(Copula函數)，即可求得其聯合機率分配 利用此一先將邊際分配及關聯結構分開個別處理，再加以整合的過程，以探討各變數間的共同移動關係，並進而估得更合適的聯合機率分配，以作為投資組合風險評估或商品定價的基礎

9 Copula觀念 第二節 何謂Gaussian Copula與t Copula函數
準常態分配之聯合累積機率分配函數(相關係數為 )

10 Copula觀念 若令v=FX(x)，u= FY(y)，亦即x= FX-1(v)，y=FY-1(z)，則
可得Gaussian Copula等於 同樣概念下，t-copula是指多元Student’s t分配下的 copula函數，若假設 服從多元標準常態分 配，其相關矩陣為 ， 是分配 的隨機變數，自由度 為 v，則t-copula函數為：

11 Copula觀念 其中 。 當n=2時，我們可以得到t-copula函數為：

12 多元 Copulas 多元 Gaussian Copulas 多元 t-Copulas

13 多元Archimedean Copulas
Clayton-n-Copula函數：當α>0 反映左尾相依結構之非對 稱型態 Gumbel-n-Copula函數 ：當α>1 反映右尾相依性之非對稱型態 Frank-n-Copula函數 ：當α>0,n>=3 反映右尾與左尾皆漸似獨立，對稱型態

14 Copula與Rainbow Option
假設 有3個標的資產，報酬率分別為R1,R2,R3。在風險中立機率測度Q下，報酬率均服從常態分配 結構債之到期報酬型態 CT = M x { 1+ 10% - 9% x I[Max(R1,R2,R3)<g] } 如果D事件發生，I[D]=1。在風險中立機率測度Q下 C0 = Me-rT x EQ { [1+10% - 9% x I[Max(R1,R2,R3)<g] }

15 Copula與Rainbow Option
C0 = 1.1Me-rT - Me-rT x EQ [9% x I[Max(R1,R2,R3)<g]] = 1.1Me-rT Me-rT x PQ[Max(R1,R2,R3)<g] 其中 PQ[Max(R1,R2,R3)<g] = ?? = PQ[R1<g,R2<g,R3<g] = C [ Prob(R1<g), Prob(R2<g), Prob(R3<g)] = C [ N(d1), N(d2), N(d3)] 只要找到合適的Copula，就可運用在此解上，而不需要 假設彼此間為多元常態分配