Introduction to Probability

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1 Introduction to Probability
Chapter Three Introduction to Probability

2 Statistics II

3 機率概論 機率(Probability): 某事件發生之機會 事件(Event):試驗之一個或多個結果所組成之集合
統計之基礎理論與觀念 機率(Probability): 某事件發生之機會 事件(Event):試驗之一個或多個結果所組成之集合 P(A):在某一試驗下, 事件A發生之機會 集合理論  機率  統計 機率之三個基本假設 對任何事件A, 0 P(A) 1 P(Ã) = 1 - P(A), 其中P(Ã)為A不發生之機率 若事件A, B互斥, 則 P(AB) = P(A) + P(B), 且P(AB) = 0 Statistics II

4 Statistics II

5 常用之機率公式 若P(AB) = P(A) * P(B), 則事件A與B獨立
統計之基礎理論與觀念 若P(AB) = P(A) * P(B), 則事件A與B獨立 P(AB) = P(A) + P(B) - P(A  B) 條件機率 貝氏定理 (Bayesian) Examples Statistics II

6 Ex:(1)某公司有A、B二條生產線A每天生產300件產品, 其不良率為0. 3, B每天生產2000件產品, 不良率為0
Ex:(1)某公司有A、B二條生產線A每天生產300件產品, 其不良率為0.3, B每天生產2000件產品, 不良率為0.4, 產品生產後混合裝箱,某天出及時看到一件不良品,試問它是由A生產之機率是多少? (2)如果公司除A、B兩線外尚有第三條生產線C, 每天生產l000件產品, 不良率是0.1, 並與A,B混合裝箱, 試問某天看到一件不良品, 它是由A生產之機率是多少? Statistics II

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8 EX:、某公司檢驗其生產的產品有可能發生主要缺點,次要缺點及小缺點三種,其缺點發生比例如下: 只有主要缺點佔0.7% 只有次要缺點佔1.4%
只有小缺點佔13% 有主要及次要缺點佔0.8% 有主要缺點及小缺點佔1.3% 有次要缺點及小缺點佔1.5% 有主要,次要及小缺點佔ll%p (1)請問產品中都沒有缺點的所佔百分比是多少? (2)如果有主要缺點者必須廢棄,試問產品中必須廢棄的百分比是多少? (3)如產品中有次要缺點或小缺點需經修理後才能出售,試問產品需經修 理的百分比是多少? (4)依各種缺點發生比例畫長條圈。 Statistics II

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10 Mean and Variance of a Continuous Random Variable
Statistics II

11 期望值與變異數之公式 母體平均數(m ) = 隨機變數之期望值 E(X) 母體變異數(s 2) = 隨機變數之變異數 V(X)
統計之基礎理論與觀念 母體平均數(m ) = 隨機變數之期望值 E(X) 母體變異數(s 2) = 隨機變數之變異數 V(X) Examples Statistics II

12 期望值與變異數之公式 統計之基礎理論與觀念 Statistics II

13 機率分配 離散型變數 連續型變數 二項分配 超幾何分配 波以松分配 常態分配 指數分配 韋伯分配 統計之基礎理論與觀念
Statistics II

14 二項分配(Binomial Distribution)
統計之基礎理論與觀念 實驗特性: n個相同且獨立之試驗, 為抽取放回之方式 每次試驗之結果只有成功(S)與失敗(F)兩種 成功之機率為 P(S) = p 失敗之機率為 P(F) = q 隨機變數 (x): n次試驗中成功之次數 機率函數: m = E(X) = np V(X) = npq Examples Statistics II

15 (1)試問如果此批貨中l0%是不良品,則公司接受此批貨的機率是多少? (2)如果此批貨的不良品是20%時,則接受此批貨的機率又是多少?
EX: 清華電子公司接到一批500個電子零件,合約上說明,如果從此批中任選l0個檢驗, 若發現有一個以上的不良品, 即可退貨, 否則接受此批貨。 (1)試問如果此批貨中l0%是不良品,則公司接受此批貨的機率是多少? (2)如果此批貨的不良品是20%時,則接受此批貨的機率又是多少? Statistics II

16 超幾何分配 實驗特性: 與二項分配同, 唯試驗與試驗間不再獨立, 屬抽取不放回 隨機變數 (x): n次試驗中成功之次數 機率函數:
統計之基礎理論與觀念 實驗特性: 與二項分配同, 唯試驗與試驗間不再獨立, 屬抽取不放回 隨機變數 (x): n次試驗中成功之次數 機率函數: Examples Statistics II

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18 波以松分配(Poisson) 實驗特性: 隨機變數 (x): 在一連續時間區間內, 事件發生之次數 機率函數:
統計之基礎理論與觀念 實驗特性: 不同時間區間內, 事件發生之次數彼此獨立 單位時間內事件發生次數之期望值為 l 事件發生次數之期望值與時間區間之大小成正比 當時間區間趨近於零, 則事件發生二次以上之機率為零 隨機變數 (x): 在一連續時間區間內, 事件發生之次數 機率函數: m = E(X) = l, V(X) = l 相加性: X~Poisson(l1), Y~Poisson(l2), 則 X+Y~Poisson(l1+ l2) Examples Statistics II

19 波瓦松分配在實務上很有用,如顧客等候問題,放射性問題,錯誤次數等,都是卡瓦松分配的模式.
例、某公司生產電冰箱,從已有資料顯示平均每個冰箱烤漆有3個缺點數,且適合波瓦松分配,試問某顧客買到電冰箱之缺點數最多有兩個的機率是多少? Statistics II

20 常態分配(Normal) 機率函數: E(X) = m, V(X) = s 2 P(m-s<X<m+s) = 0.683
統計之基礎理論與觀念 機率函數: E(X) = m, V(X) = s 2 P(m-s<X<m+s) = 0.683 P(m-2s<X<m+2s) = 0.954 P(m-3s<X<m+3s) = 0.997 相加性: 標準化公式: Examples Statistics II

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23 Statistics II

24 Statistics II

25 Statistics II

26 Standardization Statistics II

27 Standardization - Cont.
Statistics II

28 例: 某機械製造廠生產滑槽,其寬度規格為8.875±0.005吋, 設製程是常態分配X~N(8.873,0.0042),試問:
(1)生產產品中不合格比率約為多少? (2)若一天中生產10件,則這天產品都合格的機率是多少? (3)若製程改善為y~N(8.875,0.0042),試問生產產品中不合格比率變成多少? (4)又若製程改為y~N(8.875,0.0022),試問生產產品中不合格比率變成多少? Statistics II

29 (2)甲生產線產品之中超過規格上界的比例是多少? (3)乙生產線生產產品中不合規格的比例是多少?
例、若某產品規格定為15士0.3公分,公司有甲,乙兩生產線,甲生產線的產品是N(14.9,0.04),乙生產線產品是N(14.豹,0.01),試問 (1)甲生產線產品中不合規格的比例是多少? (2)甲生產線產品之中超過規格上界的比例是多少? (3)乙生產線生產產品中不合規格的比例是多少? Statistics II

30 指數分配(Exponential) 若在單位時間內, 某事件發生之次數呈波以松分配, 則事件發生之時間間隔呈指數分配
統計之基礎理論與觀念 若在單位時間內, 某事件發生之次數呈波以松分配, 則事件發生之時間間隔呈指數分配 隨機變數 (x): 在一連續時間區間內, 某事件發生之時間間隔 機率函數: m = E(X) =1/l, V(X) = 1/l2 Lack of memory Examples Statistics II

31 例、某雷達之電子零件,其壽命是指數分布,衰減率λ=10.3小時,試問: (1)衰減平均時間是多少?
(2)在衰減平均時間前該電子零件已壞掉的機率是多少? Statistics II

32 韋伯分配(Weibull) 隨機變數 (t): 時間 機率函數: m = E(X) = l, V(X) = 1/l2 Examples
統計之基礎理論與觀念 隨機變數 (t): 時間 機率函數: m = E(X) = l, V(X) = 1/l2 Examples Statistics II

33 Statistics II

34 EX: You are conducting a reliability analysis for a new product
EX: You are conducting a reliability analysis for a new product. Based on prior testing with a similar product.you believe the weibull failure-time distribution, with parameterλ=0.20 per year, applies. But you have no basis for establishing b. Compute at a time span of 5 years (1) the failure rate (2)the survival probability assuming that (a) b = 0.5 (b) b = 1.2, and (c) b = 2.0. Statistics II

35 Normal Approximation to Binomial and Poisson
Statistics II

36 Covariance and Correlation
Statistics II