13.3角的平分线的性质（2）.

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1 13.3角的平分线的性质（2）

2 复习 1、会用尺规作角的平分线. 2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线
P D E ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE

3 思考 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．

4 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 　 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 　∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

5 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE

6 例1.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
D E F 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

7 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M G ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　 FG⊥AE， FM⊥BC M ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC H ∴FM＝FH FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上　　　

8 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。

9 利用结论，解决问题 练一练 1.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建? 2.在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的? 想一想

10 ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
课堂小结 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE

11 3.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
拓展与延伸 3.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上. A D N E B F M C