第十四章 假设检验 (Hypothesis Testing)

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1 第十四章 假设检验 (Hypothesis Testing)
实验数据处理方法 第三部分：统计学方法 第十四章 假设检验 (Hypothesis Testing)

2 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
一. 假设检验的基本概念 二. 假设检验的一般方法 三. 假设检验的一个例子：Li－Ma显著性（Significance）

3 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
一. 假设检验的基本概念 1. 什么是假设检验 实验的目的：验证一个科学论断的正确性 假设检验：利用概率和统计的语言，根据实验的结果来验证一个理论模 型是否可接受。 统计假设：待检验的理论模型 例：Ξ0粒子的衰变。 实验结果：测量衰变时间求Ξ0粒子的平均寿命τ。 理论模型：ΔI=1/2规则，Ξ0的寿命是Ξ- 的两倍， Ξ- 的寿命  Ξ0的寿命τ0 问题：τ ＝ τ0 ？ 由于τ有测量误差，对该问题的回答：τ=τ0概率是多少？

4 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
2. 假设检验的分类 （1）参数检验：如果欲检验的统计假设只包括某些参数的特定值， 如：τ ＝ τ0 ？ （2）非参数检验：被观测的随机变量的分布是否符合一个特定的 函数形式？两个给定的实验分布是否具有相同 分布形式？…… 3. 原假设和备择假设（Null Hypothesis，Alternative Hypothesis） 原假设：欲检验的统计假设，如 H0：τ=τ0 备择假设：实验结果有可能支持原假设，也可能支持别的假设而拒 绝原假设，与原假设不同的其它假设称为备择假设，如 H1：τ≠τ0

5 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
一般情况下，是否接收原假设依赖于与备择假设的比较结果。 4. 简单假设和复合假设（Simple Hypothesis，Composite Hypothesis） 简单假设：假设中参数的值是一常数，如 H0：τ=τ0 复合假设：假设中的某一参数的值不是完全确定的，如 H：τ≠τ0 、 H1：τ≥τ0 如何选择原假设和备择假设，要根据所要解决的实际问题决定

6 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
二. 假设检验的一般方法 参数检验 随机变量x p.d.f.: f（x,θ）， θ为未知参量 观测结果：容量为n的样本，（x1, x2, …, xn) 检验θ是否取某一值 原假设 H0：θ=θ0 备择假设 H1：θ=θ1 定义通过观测结果来接收原假设或拒绝原假设的标准 检验统计量：t = t(x1, x2, …, xn) t 的定义域：ω

7 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
f (t |Ho)：H0为真时，t 的p.d.f. f (t |H1)：H1为真时，t 的p.d.f. R：ω中的子域 α：t 落入R中的概率。 0≤α≤1（H0为真时） R： H0 的拒绝域 f (t |Ho) ω - R R tc t ω - R： H0 的接收域 即：若t 的观测量tobs， 落入R，则拒绝H0 否则，接收H0 α：显著性水平（Significance Level），tc：临界值

8 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
第一类错误（弃真错误）：当H0为真时，tobs有α的概率落入R 当tobs> tc时， H0被拒绝，而实验上H0为真 I类错误的概率：  α应尽可能地小 第二类错误（取伪错误）：H0不为真，但却接收了H0 II类错误的概率： f (t |Ho) 1 - α R tc t α 1-β：H0 对H0的检验势 1-β大，II类错误的概率小

9 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
假设检验的方法： f (t |H1) β tc t 1-β 1. 选择合适的检验统计量t 2. 选择适当的临界值tc  α应尽可能地小 标准：α尽可能地小，1-β尽可能大。 三. 复合假设的检验： 似然比（Likelihood Ratio） 设x的p.d.f.： ，x样本：(x1, x2, …, xn) 的取值空间 ω：Ω的子空间，即 的分量中只有一个受到某种约束

10 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
原假设 备择假设 设 ：L 在Ω中的极大值 ： 在H0为真时， L 在ω中的极大值 定义： ： 似然比（Likelihood Ratio） 不可能比 大 H0 为真的可能性较大 H0 为真的可能性较小 λ可作为原假设H0的检验统计量

11 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
求在给定的显著性水平α下，λ的临界值 λα： ：L 在Ω中的极大值 g(λ| H0)：在H0 为真时，λ的p.d.f. 如果g(λ| H0)的函数形式未知： y=y(λ)  h (y | H0) y(λα) → λα 一般情况下，g(λ| H0)很难找到  采用近似方法： 设 中当H0 为真时有γ个参数取固定值，则 当样本容量n很大时，统计量-2lnλ趋近于自由度为γ的χ2分布  χ2(γ)分布求λα 令 λα

12 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
例：γ点源寻找中的Li-Ma显著性 问题：来自某一天体方向的事例数的超出是γ点源信号还是背景 涨落，如果是信号，如何用统计学的方法描述这种超出？ 实验测量： Non：向源事例数 Noff：离源事例数 ton：向源测量时间 toff：离源测量时间 未知量：γ事例数Ns，源方向的背景事例数NB 背景事例：强子和核引起的簇射，是各向同性的， 可用似然比检验解决上述问题。

13 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
原假设 备择假设 Non、Noff服从什么分布？ 假定：事例率为常数，则Non、Noff服从Possion分布 μ：平均值 NS、NB的估计值： 令L=ton / toff 如果H0 为真，Ns=0， Non和Noff的平均值： （1）H0 为真时，Non全为本底事例。

14 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
（2）H1 为真时：，NS≠0 参数空间：NB：x轴， NS：y轴 H0 ：NS=0 : ω= x轴 H1 ：NS≠0 : Ω=NS >0， NB≥0 H0为真时，有一个参数取定值：自由度为1

15 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
似然函数： 由于Non和Noff 是独立的随机变量，故一次实验获得测量量Non和Noff 概率为

16 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
似然比： 如果Non、Noff 不是很小， -2 lnλ  χ2(1) χ2分布的定义：如果χ N(μ,σ2)  χ2 ：x 偏离平均值μ多少标准偏差 u ～ -2 lnλ ∴ 在H0假设为真时， =观测结果偏离H0多少个 标准偏差。

17 第十三章 假设检验 (Hypothesis Testing)
李-马显著性(Li-Ma significance)