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7.4 随机变量的数字特征 7.4.1 离散型随机变量的数学期望和方差 7.4.2 连续型随机变量的数学期望和方差
7.4.3 常见随机变量的数学期望和方差 7.4.4 随机变量函数的数学期望和方差
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7.4.1 数学期望和方差的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、案例 五、概念和公式的引出 六、进一步的练习
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一、案例 [轮胎质量] 为了比较两家工厂生产的轮胎质量,某汽车运输公司做了这样的试验,让14辆车况相同的汽车分别装上这两家工厂生产的牌号为A,B的轮胎,并且统计了每辆车在轮胎损坏前所行驶的公里数,见下表
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A牌轮胎 B牌轮胎 公里数 11000 12000 14000 8000 10000 40000 车辆数 1 2 4 3 频率
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从每组轮胎所行驶的平均公里数来看: A牌轮胎的平均公里数为 (km) B牌轮胎的平均公里数为 (km) 所以汽车运输公司认为B牌轮胎质量较好.
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二、 概念和公式的引出 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 的分布列为 若级数 绝对收敛,则称级数 为随机变量
… 若级数 绝对收敛,则称级数 为随机变量 的数学期望或均值,记作 或 即 .如果上式中的级数不绝对收敛, 这时称 的数学期望不存在.
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三、进一步练习 练习1[产品的平均产值] 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五种,相应的概率分别为0.7,0.1,0.1,0.06及0.04,若其产值(单位:元)分别为6,5.4,5,4,0,求产品的平均产值.
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解 产品产值 是一个随机变量,其分布列为 6 5.4 5 4 0.7 0.1 0.06 0.04 所以
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设A、B两台自动机床,生产同一种标准件.生产
练习2 [产品质量] 设A、B两台自动机床,生产同一种标准件.生产 1000只产品所出的次品数分别用 表示,经过 一段时间的考察, 的分布列分别是 1 2 3 0.7 0.1 1 2 3 0.5 0.3 0.2 问哪一台机床加工的产品质量好些?
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解 随机变量 的数学期望分别为 因为 ,所以自动机床A在1000只产品中 所出的平均次品数较少.因此,我们认为A机床加工 的产品质量较高.
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四、案例[误差评价] 线切割机床在切割某一批圆柱形钢件时,已知切割后的平均长度为30cm,要判断该机床的切割水平.如果切割后的钢件大部分都在30cm左右,则符合精度要求,我们认为切割水平较好;如果切割后的钢件离30cm差异较大,虽然同样满足切割的平均长度为30cm,但我们认为切割水平有问题. 那么,究竟用什么办法来对机床切割水平进行评价呢?
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五、 概念和公式的引出 离散型随机变量的方差 设 是一随机变量,如果 存在,则称 为 的方差,记作 ,并称 ,即 为 的均方差或标准差.
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设甲、乙两工厂生产同一种设备,其使用寿命(单位:小时)的分布列见下表,试比较两厂生产的产品质量.
六、进一步练习 练习[质量评价] 设甲、乙两工厂生产同一种设备,其使用寿命(单位:小时)的分布列见下表,试比较两厂生产的产品质量. 800 900 1000 1100 1200 0.1 0.2 0.4 800 900 1000 1100 1200 0.2
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解 两厂生产的设备使用寿命的均值相等,但从分布列可以看出,甲厂生产的产品使用寿命比较集中在1000小时左右,说明甲厂产品质量的稳定性较好,而乙厂生产的产品使用寿命却比较分散,说明乙厂产品质量的稳定性比较差.
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下面用方差来进行描述. 因为 ,所以甲厂产品寿命的分散程度比较小, 产品质量比较稳定,比乙厂的产品质量好.
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7.4.2 连续型随机变量的数学期望和方差 一、概念和公式的引出 二、进一步的练习
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一、 概念和公式的引出 连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量 具有密度函数f(x) ,如果广义积分 绝对收敛,则称该积分为随机变量 的数学期望 (或均值),记作 ,即 否则,称 的数学期望不存在.
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连续型随机变量的方差 设连续型随机变量 具有密度函数f(x) ,如果广义积分 存在,则称该积分为随机变量 的方差,记作 ,即 否则,称 的数学期望不存在.
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数学期望有以下性质: (1)E(c)=c,其中c为常数; (2) ,其中c为常数; (3) (4)如果 相互独立,则
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方差有以下性质: (1) (2) ,其中c为常数; (3) ,其中c为常数; (4)如果 相互独立,则
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二、进一步练习 练习1 已知 在[a,b]上服从均匀分布,即 , 求 . 解 因为 ,即 的密度函数为
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所以
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7.4.3 常见随机变量的数学期望和方差 一、概念和公式的引出
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一、 概念和公式的引出 0-1分布 设 服从0-1分布,则 二项分布 设 ,则 泊松分布 设 ,则 均匀分布 设 ,则 正态分布 设 ,则
特别地,当 时,
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7.4.4 随机变量函数的数学期望和方差 一、概念和公式的引出 二、进一步的练习
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一、 概念和公式的引出 设 是 的函数,随机变量 的数学期望 和方差可按下列公式计算. 如果 是离散型随机变量,且分布列为 ,则
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如果 是连续型随机变量,且密度函数为 ,则
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二、进一步练习 练习1 设 的分布列为 -2 -1 1 1/4 1/8 1/2 的数学期望. 求
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解 由离散型随机变量函数的数学期望的公式,有
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练习2[飞机受力] 设风速v在(0,a)上服从均匀分布,即密度函数为 又设飞机机翼所受的正压力W是v的函数,W=kv2 (k>0),求W的数学期望。 解 由连续型随机变量函数的数学期望,有
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练习3 设随机变量 相互独立,且 求 解 , 已知 于是
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