人教版必修4《三角函数》 教材分析与教学建议

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1 人教版必修4《三角函数》 教材分析与教学建议
路桥中学 陈伟丽

2 目录 一、定 位 二、教材特点 三、知识结构 四、纲标对比 五、教学建议

3 一、定 位 三角函数是基本初等函数，它是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型 ，在数学和其他领域中具有重要的作用.在本模块中，通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力.

4 二、教材特点 1、加强几何直观,强调数形结合思想. 2、突出三角函数在刻画周期变化现象中的地位和作用、过程和方法.
3、利用知识的发生发展过程提出问题,引导思考，训练思维，提高能力. 4、突出信息技术的工具性.

5 三、知识结构

6 四、纲标对比 □ 内容 教学大纲 课程标准 区别 任意角和弧度制 使学生理解弧度的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算.
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 理解变为了解，要求略有下降 □

7 纲标对比： □ 教学大纲 课程标准 区别 三角函数 内容
1.使学生掌握任意角的三角函数定义、三角函数符号、三角函数性质、同角三角函数间的关系式与诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义，并能运用上述三角函数的公式化简三角函数式、求任意角的三角函数值与证明三角恒等式. 2.使学生了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦余弦函数和y = Asin (x + )的简图，并通过正弦曲线的应用，培养学生解决有关实际问题的能力. 1．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 2．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 (/2, 的正弦、余弦、正切)，能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性. 3. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在(- /2， /2 )上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）. 4. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1， tanx=sinx/cosx . 5. 结合具体实例,了解y=Asin(x+)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(x + )的图象，观察A，，对函数图象变化的影响. 　　利用单位圆,重视数形结合. 　重视让学生参与三角函数概念、公式、图象和性质等知识的产生和推导的全过程. 　只定义三个三角函数 　 同角关系三个减为两个． 　删去已知三角函数值求角、反三角函数. 　　降低“给角求值”，“化简与证明三角恒等式”的难度要求. 　　现代教学技术支持教学 　和差倍半设章 □

8 纲标对比： □ 教学大纲 课程标准 区别 三角函数 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 内容
　　会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 　　新增数学应用及数学建模的教学要求. □

9 教学要求变化： 加强： 三角函数作为刻画现实世界的数学模型； 借助单位圆理解三角函数的概念、性质； 新增利用现代教学技术辅助教学的安排；
通过建立三角函数模型解决实际问题等。 削弱： 删减任意角的余切、正割、余割，三角函数的奇偶性，已知三角函数求角，反三角函数符号等。 降低同角三角函数的基本关系式、诱导公式等的教学要求等。（获得必要的基础知识，运算的技巧难度降低要求）

10 课标不要求的题： 无： 已知sinx=3/5，求cotx. 已知cosx=1/3，求x. 有少量：１＋２cosx>0, 求x取值集合，
　　无：解不等式2cos2x – cosx - 1 > 0. 有少量：求y=tan3x的定义域， 　　无：求y = lgcos(2x -1)的定义域.

11 三角函数的所有内容都可以借助单位圆的直观进行讨论
借助单位圆（作用加强） 1. 定义1弧度的大小 2.在坐标系中定义三角函数 （1）突出三角函数概念的本质； （2）简化定义形式，体现数学的从简精神； （3）加强与几何的联系，便于应用。 任意角α → 点P的纵坐标——正弦 任意角α → 点P的横坐标——余弦 3. 画三角函数图象（同原教学） 4.导出三角函数的图象、基本性质、同角三角函数关系式、诱导公式（同原教学） 三角函数的所有内容都可以借助单位圆的直观进行讨论

12 为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数 定义：任意角与单位圆的交点为P(x，y)，则x=cos ，y=sin  .对应关系明确，函数的意义直观而具体，“周期函数”的特点一目了然. 三角函数性质：正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述，例如 （1）P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]； （2）|OP|2=sin2+cos2=1；

13 （3）对于圆心的中心对称性 sin(π+)=－sin，cos(π+)=－cos； （4）对于x轴的轴对称性 sin(－)=－sin，cos(－)=cos； （5）对于y轴的轴对称性 sin(π－)=sin，cos(π－)=－cos； （6）对于直线y=x的轴对称性 sin( －)=cos，cos( －)=sin； （7）圆的旋转对称性：和（差）角公式 圆的反射对称性：和（差）化积公式

14 五、教学建议

15 课程内容与课时（共16课时）

16 1.1任意角和弧度制 教学中要注意在学生已有生活经验的基础上，通过较丰富 的实例展示角扩充的必要性。在直角坐标系中，引入象限角概
念，为用代数方法研究角提供了基础. 要认识象限角的分类， 通过比较、发现，导出同终边角的集合表示。要揭示引入实数 度量角的必要性，弧长公式和扇形面积计算公式只需要会做简 单应用。 本节内容涉及概念较多，在教学方法上建议： 先由教师提出一些问题, 提供学生自学时间， 在此基础上， 可通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.

17 1.2 任意角的三角函数 在直角坐标系中, 通过计算机辅助，突出三对比值与终边 上点的位置无关，与角的终边有关．引入单位圆, 借助几何支
持，定义三种三角函数．通过探究导出三种三角函数的值在 各象限的符号．运用三角函数定义导出两个同角三角函数基本关系． 明确三种三角函数在单位圆中的几何表示． 认识任意角的终边上任意一点的横、纵坐标与余、正弦函 数的关系. 恒等式的化简、证明，只需围绕三种三角函数， 难度要控制．

18 1.3 诱导公式 一是突出几何图形对发现结论的影响，即我们是如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现结论的.
二是在诱导公式的运用中隐含着化归与转化的思想.

19 1.4 三角函数的图象与性质（ 本章重点之一） 正弦、余弦函数按照从函数的定义到作函数图象再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，三角恒等变换不再穿插其中，这一顺序与研究其他函数的顺序一致，使得三角函数的研究更加简洁．另外，把周期性作为第一条性质，目的是为了体现它的重要性。正切函数先利用诱导公式、单位圆讨论性质，然后再利用性质作图象，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数性质。

20 1.5 函数y=Asin(x+)的图象 （1）探索φ对y＝sin(x+φ)的图象的影响；
（3）探索A对y＝Asin(ωx+φ)的图象的影响； （4）上述三个过程的合成。 　　　具体到抽象——归纳思想

21 1.6 三角函数模型的简单应用 例1.用已知的三角函数模型解决问题； 例2.将复杂的函数模型转化为基本初等函数解决问题；
例3.根据问题情景建立精确的三角函数模型解决问题； 例4.通过数学建模，利用数据建立拟合函数解决实际问题： 　　　由给出的潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题.

22 人教版必修4《三角恒等变形》教材分析与教学建议

23 一、定 位 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和 正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。三
角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。 通过 本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想 和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体 会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一 些应用。

24 教育价值 (1)有助于学生体会数学与实际生活的联系，以及数学在解决实际问题中的作用。
(2)有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程 。 (3)有助于发展学生的运算能力和推理能力。

25 二、教材特点 1．削枝强干，精简内容 。 2．突出数学思想方法，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导。
3．以问题为引导，加强过程与联系，切实改进学生的学习方式，提高学生的数学能力。

26 三、知识结构

27 四、纲标对比 □ 内容 教学大纲 课程标准 区别 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 2. 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。 1. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 2. 能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦及两角和与差的正弦、正切公式，了解它们的内在联系。 1. 关于公式的推导，课标降低了要求。 2. 关于公式的推导，课标强调了用向量的方法。 □

28 纲标对比 □ 内容 教学大纲 课程标准 区别 简单的三角恒等变换
能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆。） 能运用上述三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆。） 公式的应用要求大致一样，课标对应用的含义更加广泛，三角恒等变换的目的不止限于化简、求值和恒等式证明，其应用的含义更在于实际生活中。 □

29 课程内容削弱的方面 两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出等。对三角恒等变换，《标准》要求以推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基本训练，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。

30 五、教学建议

31 课时分配 3.1.1两角差的余弦公式 约1课时 3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式 约1课时
3.1.1两角差的余弦公式 约1课时 3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式 约1课时 3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 约1课时 小结复习 约1课时 3.2简单的三角恒等变换 约3课时

32 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 和（差）角公式的逻辑联系图

33 重点和难点 重点：通过探索和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。 难点：两角差的余弦公式的探索和证明。

34 教学基本要求 ①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性。 ②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路。
③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式。 ④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。

35 说明 教学发展要求 ①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。 ②理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理正确的拆分。
③能对公式进行简单的逆用。 说明 ①控制好拆分角度的难度。 ②题型的变化不宜过多。

36 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 本章内容的重点之一是两角差的余弦公式的推导及在推导
过程中体现的思想方法，同时它也是难点。为了突出重点、突 破难点，教学中可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结 合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角 关系等建立正弦、余弦值的等量关系。前一章中已经明确指出， 向量的数量积是解决距离与夹角问题的工具，在两角差的余弦 公式的推导中能够体现它的作用。

37 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学时应当注意下面四个要点： ①在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想 向量知识；
②充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角） 的关系，为向量方法的运用做好准备； ③探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节，在补充 完善细节的过程中，需要运用分类讨论思想，突破两角差的余弦公 式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通过学生自己的独立探 索而得出。 ④本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式 推导过程中体现的数学思想方法。

38 3.2简单的三角恒等变换 知识结构

39 重点和难点 重点:是引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基础训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 难点:认识三角变换的特点。并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

40 教学基本要求 ①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。 ②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。
③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。

41 说明 教学发展要求 ①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。 ②理解三角变换的基本特点和基本功能。
③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 说明 积化和差、和差化积、半角公式只作为练习， 不要求记忆。

42 3.2简单的三角恒等变换 从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相 同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一定的数学工
具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结 构形式进行变换。由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式 上，而且还表现在角及其函数类型上，因此三角恒等变换常常需 要先考虑式子中各个角之间的关系，然后以这种关系为依据来选 择适当的三角公式进行变换，这是三角恒等变换的主要特点。教 学中应当引导学生以一般的数学（代数）变换思想为指导，加强 对三角函数式特点的观察，在类比、特殊化、化归等思想方法上 多作引导，同时要注意体会三角恒等变换的特殊性。

43 欢迎批评指正 谢 谢！