考点1、板块的临界问题 【例1】木板M静止在光滑水平面上，木板上放着一个小滑块m，与木板之间的动摩擦因数μ，为了使得m能从M上滑落下来，求下列各种情况下力F的大小范围。 m F M F M m (2) (1)

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1 考点1、板块的临界问题 【例1】木板M静止在光滑水平面上，木板上放着一个小滑块m，与木板之间的动摩擦因数μ，为了使得m能从M上滑落下来，求下列各种情况下力F的大小范围。 m F M F M m (2) (1)

2 再对整体，由牛顿第二定律可得：F0=(M+m)a 解得：F0=μ(M+m) g 所以，F的大小范围为：F>μ(M+m)g
解析（1）m与M刚要发生相对滑动的临界条件：①要滑动：m与M间的静摩擦力达到最大静摩擦力；②未滑动：此时m与M加速度仍相同。受力分析如图，先隔离m，由牛顿第二定律可得：a=μmg/m=μg 再对整体，由牛顿第二定律可得：F0=(M+m)a 解得：F0=μ(M+m) g 所以，F的大小范围为：F>μ(M+m)g M fm F m （2）受力分析如图，先隔离M，由牛顿第二定律可得：a=μmg/M 再对整体，由牛顿第二定律可得：F0=(M+m)a 解得：F0=μ(M+m) mg/M 所以，F的大小范围为：F>μ(M+m)mg/M M fm F m

3 考点2、板块的动力学问题 【例2】如图所示，有一块木板静止在光滑水平面上，木板质量M=4kg，长L=1.4m.木板右端放着一个小滑块，小滑块质量m=1kg，其尺寸远小于L，它与木板之间的动摩擦因数μ=0.4，g=10m/s2， （1）现用水平向右的恒力F作用在木板M上，为了使得m能从M上滑落下来，求F的大小范围. （2）若其它条件不变，恒力F=22.8N，且始终作用在M上，求m在M上滑动的时间. M m F

4 m F M F x1 L x2 f [解析]（1）小滑块与木板间的滑动摩擦力 f=μFN=μmg=4N…………① f
a1=f/m=μg=4m/s2 …② 当木板的加速度a2> a1时，滑块将相对于木板向左滑动，直至脱离木板 F-f=m a2>m a F> f +m a1=20N …………③ 即当F>20N，且保持作用一般时间后，小滑块将从木板上滑落下来。 f （2）当恒力F=22.8N时，木板的加速度a2＇，由牛顿第二定律得F-f=Ｍa2＇　　 解得：a2＇＝4.7m/s2………④ 设二者相对滑动时间为t，在分离之前 小滑块：x1=½ a1t2 …………⑤ 木板：x1=½ a2＇t2 …………⑥ 又有x2－x1=L …………⑦ 解得：t=2s …………⑧ x1 F x2 L

5 【例3】质量m=1kg的滑块放在质量为M=1kg的长木板左端，木板放在光滑的水平面上，滑块与木板之间的动摩擦因数为0
【例3】质量m=1kg的滑块放在质量为M=1kg的长木板左端，木板放在光滑的水平面上，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.1，木板长L=75cm，开始时两者都处于静止状态，如图所示，试求： 　　（1）用水平力F0拉小滑块，使小滑块与木板以相同的速度一起滑动，力F0的最大值应为多少？ 　　（2）用水平恒力F拉小滑块向木板的右端运动，在t=0.5s内使滑块从木板右端滑出，力F应为多大？ 　　（3）按第（2）问的力F的作用，在小滑块刚刚从长木板右端滑出时，滑块和木板滑行的距离各为多少？（设m与M之间的最大静摩擦力与它们之间的滑动摩擦力大小相等）。（取g=10m/s2）. 　　

6 要使滑块与木板共同运动，m的最大加速度am=aM， 对滑块有F0－μmg=mam 所以 F0=μmg+mam=2N 即力F0不能超过2N
解析：（1）对木板M，水平方向受静摩擦力f向右，当f=fm=μmg时，M有最大加速度，此时对应的F0即为使m与M一起以共同速度滑动的最大值。 　对M，最大加速度aM，由牛顿第二定律得：aM= fm/M=μmg/M =1m/s2 　要使滑块与木板共同运动，m的最大加速度am=aM， 对滑块有F0－μmg=mam 　所以　F0=μmg+mam=2N　　即力F0不能超过2N f （2）将滑块从木板上拉出时，木板受滑动摩擦力f=μmg，此时木板的加速度a2为 a2=f/M=μmg/M =1m/s2. 由匀变速直线运动的规律，有（m与M均为匀加速直线运动）木板位移　x2= ½a2t2　①　　滑块位移 x1= ½a1t2　② 　　位移关系　x1－x2=L　③ 　　将①、②、③式联立，解出a1=7m/s2 　　对滑块，由牛顿第二定律得:F－μmg=ma1　　所以　F=μmg+ma1=8N x2 x1 L F （3）将滑块从木板上拉出的过程中，滑块和木板的位移分别为 　　x1= ½a1t2= 7/8m　　x2= ½a2t2= 1/8m

7 同步练习 1.如图所示，长方体物块A叠放在长方体物块B上，B置于光滑水平面上.A、B质量分别为mA=6kg，mB=2kg，A、B之间动摩擦因数μ=0.2，开始时F=10N，此后逐渐增加，在增大到45N的过程中，则（ ） A．当拉力F＜12N时，两物块均保持静止状态 B．两物块开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始相对滑动 C．两物块间从受力开始就有相对运动 D．两物块间始终没有相对运动，但AB间存在静摩擦力，其中A对B的静摩擦力方向水平向右 A F B 答案：D

8 答案：根据图（1），设A、B间的静摩擦力达到最大值fm时，系统的加速度为a.根据牛顿第二定律有：F=(mA+mB)a ①
2.如图所示，在光滑水平面上有一小车A，其质量为mA=2.0kg，小车上放一个物体B，其质量为mB=1.0kg，如图（1）所示。给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0N时，A、B开始相对滑动。如果撤去F，对A施加一水平推力F′，如图（2）所示，要使A、B不相对滑动，求F′的最大值Fm. F A B 图（1） F′ 图（2） 答案：根据图（1），设A、B间的静摩擦力达到最大值fm时，系统的加速度为a.根据牛顿第二定律有：F=(mA+mB)a ① fm=mAa ② 代入数值联立解得：fm=2.0N ③ 根据图（2）设A、B刚开始滑动时系统的加速度为a＇，根据牛顿第二定律有： fm=mＢa＇ ④ Fｍ=(mA+mB)a＇ ⑤ 联立解得：Fｍ=6.0Ｎ ⑥ F A B 图（1） F′ 图（2） fm fm fm fm

9 3.如图所示，长为L=6m、质量M=4kg的长木板放置于光滑的水平面上，其左端有一大小可忽略，质量为m=1kg的物块，物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，开始时物块与木板都处于静止状态，现对物块施加F=8N，方向水平向右的恒定拉力，求：(g=10m/s2） ⑴小物块的加速度； ⑵物块从木板左端运动到右端经历的时间。 F m M 答案：⑴设小物块的加速度为a1，由牛顿第二定律得 F－μmg=ma１ 代入数据得： a1= 4m/s2 ⑵设小物块的加速度为a2，由牛顿第二定律得：μmg=Ｍa２ 由运动学规律可得： Ｌ＋½a2t2=½a１t2 代入数据得：t=2s

10 4. 如图所示，在光滑的桌面上叠放着一质量为mA＝2. 0kg的薄木板A和质量为mB=3 kg的金属块B．A的长度L=2
4.如图所示，在光滑的桌面上叠放着一质量为mA＝2.0kg的薄木板A和质量为mB=3 kg的金属块B．A的长度L=2.0m．B上有轻线绕过定滑轮与质量为mC=1.0 kg的物块C相连．B与A之间的滑动摩擦因数 µ =0.10，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力．忽略滑轮质量及与轴间的摩擦．起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B位于A的左端（如图），然后放手，求经过多长时间t后 B从 A的右端脱离（设 A的右端距滑轮足够远）（取g=10m/s2）． 答案：以桌面为参考系，令aA表示A的加速度，aB表示B、C的加速度，sA和sB分别表示 t时间 A和B移动的距离，则由牛顿定律和匀加速运动的规律可得 mCg-µmBg=（mC+mB）aB µ mBg=mAaA sB=½aBt sA=½aAt sB-sA=L 由以上各式，代入数值，可得:t=4.0s

11 　例1：如图示，在光滑的水平桌面上有一质量为M的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通过滑轮与一个质量为m的砝码相连，砝码到地面的高度为h，由静释放砝码，则当其着地前的一瞬间（小车末离开桌子）小车的速度为多大？ v M m h 解：以M 、m为研究对象，在ｍ开始下落到刚要着地的过程中机械能守恒，则：　 1 2 mgh = （M+m）v2 v ∴ v= √ 2mgh M+m

12 一、轻绳连接模型 1、与绳子连接的物体沿绳子方向速度大小相等。 2、轻绳内张力处处相等，且与运动状态无关
3、此模型中单个物体一般机械能不守恒，二系统机械能守恒。

13 例2．如图所示，一固定的三角形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S距离后，细线突然断了。求物块B上升的最大高度H。 30º A B S h v v

14 ４mgs•sinθ－mgs （４m+m）v2 = mgh mv2 = 三式连立解得 H=1.2S
解：该题A、B组成的系统只有它们的重力做功，故系统机械能守恒。 设物块A沿斜面下滑S距离时的速度为v，则有： ４mgs•sinθ－mgs = （４m+m）v2 1 2 ( 势能的减少量 = 动能的增加量 ) 细线突然断的瞬间，物块B垂直上升的初速度为v，此后B作竖直上抛运动。设继续上升的高度为h， 由机械能守恒得 1 mgh = mv2 2 物块B上升的最大高度: H=h+S 三式连立解得 H=1.2S

15 例3、一轻杆上质量均为m的小球a、b，可绕o点在数值平面内自由转动。oa=ab=L，将杆拉至水平后由静止释放。

16 二、轻杆或轻支架连接问题 1、轻杆不可伸长和压缩，所以沿杆方向速度必相同。 2、若轻杆或轻支架一端固定则杆或支架转动时各点角速度相同。
3、求解此类问题一定注意重力势能为零的点位置选取以及重力势能的变换

17 例4、如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的定点O处有光滑的固定转动轴，AO、BO的长分别为2L和L，开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求 （1）当A达到最低点时，A小球的速度大小v； （2）B球能上升的最大高度h。（不计直角尺的质量 ）

18 答案：直角尺和两个小球组成的系统机械能守恒
（1）由 （2）设B球上升到最高时OA与竖直方向的夹角为θ，则有 则B球上升最大高度h=L（1+sinθ）=32L/25

19 例5、如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上
例5、如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上.其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零，在小球下降阶段中，下列说法正确的是 （ ） A．从A→D位置小球先做匀加速运动后做匀减速运动 B．从A→C位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量 C．在B位置小球动能最大 D．在C位置小球动能最大 A B C D

20 三、轻弹簧连接问题 2、由两个及两个以上物体组成的系统应注意弹簧伸长或压缩最大程度时，弹簧连接的物体的速度问题。
1、需认清弹簧状态及不同能量的转化关系。 3、弹簧处于自然长度时弹性势能最小为隐含条件。