泊松分布 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校 2005.5.15.

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1 泊松分布 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校

2 一、泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为： 其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作X~P( ).

3 泊松分布的图形特点： X~P( )

4 二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.

5 泊松定理： 设 是一个正整数， ，则有 由此可知 设随机变量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则

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7 Example In his book, Feller discusses the statistics of flying bomb hits in the south of London during the Second World War. Assume that you live in a district of size 10 blocks by 10 blocks so that the total district is divided into 100 small squares. How likely is it that the square in which you live will receive no hits if the total area is hit by 400 bombs?

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9 用 X 表示落入该小区内的炸弹数，则 X~B(400,1/100) n=400, p=1/100 因此 P(X=0)=(99/100)^400 用Poisson分布近似计算。。 X近似服从参数为 4 =np=400*1/100的Poisson 分布 即 X~P(4) 因此 P(X=0)=exp(-4) P(X=0)=(99/100)^400 可以计算(99/100)^400= exp(-4)=

10 我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.
如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等 由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

11 三、泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流（泊松流）. 下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.

12 平稳性: 在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. 无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性: 如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.

13 例如 一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数； 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; … 一台纺纱机的断头数; 都可以看作泊松流.

14 对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 t 的 泊松分布 称为泊松流的强度.

15 例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？
解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ=5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m . 销售数 进货数

16 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05 或 查泊松分布表得 于是得 m+1=10, m=9件

17 这一讲，我们介绍了泊松分布 n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布. 我们给出了泊松分布产生的一般条件 泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .