材料力学（乙） 第五章 基本变形（2）：剪切 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年4月1日.

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1 材料力学（乙） 第五章 基本变形（2）：剪切 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年4月1日

2 重要基本概念的回顾与强化 1、拉压的受力特点与变形特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
2、轴力：内力合力的作用线与杆的轴线重合时，称为轴力，用FN表示。规定：轴力拉伸为正，压缩为负。 3、横截面上的正应力σ计算公式： 正应力σ和轴力FN同号，拉应力为正，压应力为负。

3 重要基本概念的回顾与强化 4、圣维南原理：如用与外力系静力等效的合力来代替原力系，则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处上述替代的影响就非常微小，可以不计。 5、斜截面的应力公式： σ F  τ

4 重要基本概念的回顾与强化 6、低碳钢拉伸性能。拉伸分为弹性阶段（线弹性阶段、非线弹性阶段）、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。各阶段对应极限： （比例极限）， （弹性极限）， （屈服极限）， （强度极限） 两个塑性指标: 断后伸长率 断面收缩率 卸载定律，冷作硬化或加工硬化。

5 重要基本概念的回顾与强化 7、其他材料的拉伸性能 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用规定塑性延伸强度（名义屈服极限）σp0.2来表示。
对于脆性材料，用拉伸强度极限σbt来表示。 8、低碳钢的压缩性能。弹性模量E屈服极限s都与拉伸时相同。得不到压缩时的强度极限。 9、脆性材料的压缩性能。压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限。

6 第五章 基本变形（1） 轴向拉压

7 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 1、强度条件 铸铁 低碳钢 最大正应力破坏 最大切应力破坏 第一强度理论： 第三强度理论：
第二强度理论： 第四强度理论：

8 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 1、强度条件 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力 应用：根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
(1) 强度校核： (2) 设计截面： (3) 确定许可载荷：

9 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 240 F A B C 3000 4000 370 2 1 例题5.7 一横截面为正方形的砖柱分上、下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示。 已知F = 50 kN，试求荷载引起的最大工作应力。 解： (1) 求轴力 (2) 求应力

10 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 240 F A B C 3000 4000 370 2 1 例题5.7 一横截面为正方形的砖柱分上、下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示。 已知F = 50 kN，试求荷载引起的最大工作应力。 解： (2) 求应力 结论： σmax在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力。

11 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.8 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D = 350 mm，油压p = 1 MPa。螺栓许用应力[σ] = 40 MPa，求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 每个螺栓承受轴力为总压力的1/6 即螺栓的轴力为

12 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.8 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D = 350 mm，油压p = 1 MPa。螺栓许用应力[σ] = 40 MPa，求螺栓的内径。 解： 根据强度条件 得 即 螺栓的直径为

13 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.9 α=30° F α F
A B C F 2 m 4 m AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，[σ] = 120 MPa。确定许可载荷F。 解： 1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆为2杆），对于节点A α A F

14 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.9 α=30° F α F A B C 2 m 4 m
AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，[σ] = 120 MPa。确定许可载荷F。 解： 2、根据斜杆的强度，求许可载荷 α=30° 查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8 cm2 α A F

15 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.9 α=30° A2=2×12.75 cm2 F α F
B C F 2 m 4 m AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，[σ] = 120 MPa。确定许可载荷F。 解： 3、根据水平杆的强度，求许可载荷 α=30° 查表得水平杆AB的面积为 A2=2×12.75 cm2 α A F

16 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.9 α=30° F α F
A B C F 2 m 4 m AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，[σ] = 120 MPa。确定许可载荷F。 解： 4、许可载荷 α=30° α A F

17 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.10 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F=25 kN，已知CD杆的直径d=20 mm，许用应力[]=160 MPa，试校核CD杆的强度，并求： （1）结构的许可载荷[F]； （2）若F=50 kN，设计CD杆的直径。 2a a F A B D C 解： 1、求CD杆的受力 FN,CD F A C B y x

18 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.10 [F] = 33.5 kN D
刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F=25 kN，已知CD杆的直径d=20 mm，许用应力[]=160 MPa，试校核CD杆的强度，并求： （1）结构的许可载荷[F]； （2）若F=50 kN，设计CD杆的直径。 2a a F A B D C 解： 2、结构的许可载荷[F] 由 FN,CD F A C B y x 得 [F] = 33.5 kN

19 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.10 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F=25 kN，已知CD杆的直径d=20 mm，许用应力[]=160 MPa，试校核CD杆的强度，并求： （1）结构的许可载荷[F]； （2）若F=50 kN，设计CD杆的直径。 2a a F A B D C 解： 3、若F = 50 kN，设计CD杆的直径 由 FN,CD F A C B y x 得

20 5.5 轴向拉压时的强度计算（2.7） 例题5.10 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F=25 kN，已知CD杆的直径d=20 mm，许用应力[]=160 MPa，试校核CD杆的强度，并求： （1）结构的许可载荷[F]； （2）若F=50 kN，设计CD杆的直径。 2a a F A B D C 解： 3、若F = 50 kN，设计CD杆的直径 FN,CD F A C B y x d = 24.4 mm 取 d = 25 mm

21 σ = Eε 5.6 胡克定律在轴向拉压中的应用（2.8） σ ε 1、抗拉（抗压）刚度
实验表明，当杆内应力不超过材料的某一极限值（比例极限）时，应力与应变成正比 σ ε σ = Eε 胡克实验用装置 EA称为杆的抗拉（抗压）刚度

22 5.6 胡克定律在轴向拉压中的应用（2.8） 例题5.11 图示杆，1段为直径d1=20 mm的圆杆，2段为边长a=25 mm的方杆， 3段为直径d3=12 mm的圆杆。已知2段杆内的应力2=-30 MPa， E=210 GPa，求整个杆的伸长Δl。 F 解： （缩短） = mm

23 5.6 胡克定律在轴向拉压中的应用（2.8） 例题5.12 B 1 m 30º A C F 30º A F
AB长2 m, 面积为200 mm2。AC面积为 250 mm2。E=200 GPa。F=10 kN。试求 节点A的位移。 解： 1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆为2杆），对于节点A 30º A F

24 5.6 胡克定律在轴向拉压中的应用（2.8） 例题5.12 B 1 m 30º A C F 30º A F
AB长2 m, 面积为200 mm2。AC面积为 250 mm2。E=200 GPa。F=10 kN。试求 节点A的位移。 1 m 解： 2、根据胡克定律计算杆的伸长 斜杆伸长 30º A F 水平杆缩短

25 5.6 胡克定律在轴向拉压中的应用（2.8） 例题5.12 B 1 m 30º A C F 300 A F
AB长2 m, 面积为200 mm2。AC面积为 250 mm2。E=200 GPa。F=10 kN。试求 节点A的位移。 1 m 解： 3、节点A的位移（以切代弧） A F 300

26 5.7 应力集中（2.12） 1、实例

27 5.7 应力集中（2.12） 1、实例

28 5.7 应力集中（2.12） 2、概念 应力集中是在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中常见的问题。
应力集中是应力在固体局部区域内显著增高的现象，多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其相邻处。

29 5.7 应力集中（2.12） 2、概念 开有圆孔的板条 带有切口的板条 F F

30 5.7 应力集中（2.12） 2、概念 理论应力集中因数 开有圆孔的板条 ：同一截面上按净面积算出的平均应力
F ：同一截面上按净面积算出的平均应力 尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。 应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。

31 5.7 应力集中（2.12）

32 5.7 应力集中（2.12）

33 5.7 应力集中（2.12）

34 五、基本变形（1）：轴向拉压 轴向拉压的特点 受力特点 变形特点 杆件两端作用力大小相等，方向相反，作用线与杆轴线重合。
拉伸时杆件伸长，横向尺寸缩小；压缩时杆件缩短，横向尺寸增大。 轴力与轴力图 轴力 轴力图 轴向拉压时，杆件横截面上内力的合力 ，称为轴力。符号：拉力为正，压力为负。 表示轴力沿杆件轴线变化的图形，称为轴力图。同一杆件的轴力图采用同一比例，标明极值和正负号。

35 杆件截面尺寸发生突变，引起局部应力急剧增加的现象
五、基本变形（1）：轴向拉压 截面上的应力 横截面上的应力 斜截面上的应力 ，只有正应力 斜截面上的应力： 强度条件 许用应力 强度条件 强度条件应用 强度校核； 截面设计； 求许用载荷。 应力集中 杆件截面尺寸发生突变，引起局部应力急剧增加的现象

36 本章复习 1、轴力：内力合力的作用线与杆的轴线重合时，称为轴力，用FN表示。规定：轴力拉伸为正，压缩为负。 2、横截面上的正应力σ计算公式：
3、圣维南原理：如用与外力系静力等效的合力来代替原力系，则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处该替代的影响就非常微小，可以不计。

37 本章复习 6、低碳钢拉伸性能。拉伸分为弹性阶段（线弹性阶段、非线弹性阶段）、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。各阶段对应极限：
（比例极限）， （弹性极限）， （屈服极限）， （强度极限） 7、低碳钢压缩性能。弹性模量E、屈服极限s都与拉伸时相同。得不到压缩时的强度极限。 8、脆性材料压缩性能。压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限。

38 本章复习 11、胡克定律与抗拉（压）刚度 EA：杆的抗拉（压）刚度 12、强度条件。强度校核、设计界面、确定许可载荷。
杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力

39 第五章 基本变形（2） 剪切

40 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） F 1、剪切的概念与实用计算 剪切：杆受一对大小相等，方向相反的横向力，力的作用线靠得很近。
销钉、键、螺栓、螺钉

41 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 1、剪切的概念与实用计算 剪床剪钢板 铆钉连接 F

42 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 1、剪切的概念与实用计算 销轴连接

43 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 1、剪切的概念与实用计算 F n 以铆钉为例
（合力） F 以铆钉为例 剪切受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用。 变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。 （构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动）。 钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。

44 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 1、剪切的概念与实用计算 F F n ｛ ｝ F Fs n F ｝ Fs n F m Fs n F

45 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 1、剪切的概念与实用计算 应力分析 F （1）内力计算 FS：剪力 （2）切应力 FS F
m 1、剪切的概念与实用计算 应力分析 （1）内力计算 剪切面 FS：剪力 （2）切应力 FS m F 式中， FS为剪力，A为剪切面的面积。

46 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 1、剪切的概念与实用计算
假设切应力在剪切面（m-m 截面）上是均匀分布的, 得实用切应力计算公式： 切应力强度条件： ：许用切应力，常由实验方法确定； ：剪切极限应力； n ：安全系数。 塑性材料： 脆性材料：

47 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） F 2、挤压的概念与实用计算 螺栓与钢板相互接触的侧面上，发生的彼此间的局部承压现象，称为挤压。
在接触面上的压力，称为挤压力。 挤压力 Fbs= F

48 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） F 2、挤压的概念与实用计算 假设应力在挤压面上是均匀分布的 得实用挤压应力公式

49 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 2、挤压的概念与实用计算 注意挤压面面积的计算 （2）接触面为圆柱面 （1）接触面为平面
Abs：实际接触面面积 Abs：直径投影面面积 d h 实际接 触面 直径投影面

50 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 2、挤压的概念与实用计算 挤压强度条件： :许用挤压应力，常由实验方法确定 塑性材料： 脆性材料：

51 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 3、强度条件的应用 （1）校核强度 （2）设计截面 （3）求许可载荷 （4）破坏条件

52 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13）

53 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 例题5.13 t1 F A t B d 一销钉连接如图所示，已知外力 F=18 kN，被连接的构件A和B的厚度分别为t=8 mm和t1=5 mm，销钉直径d=15mm，销钉材料的许用切应力为[]=60 Mpa，许用挤压应力为[bS]=200 MPa。试校核销钉的强度。

54 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 例题5.13 t1 F A t B d 解: (1) 销钉受力如图所示 剪切面 d F 挤压面

55 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） F 例题5.13 d F FS (2) 校核剪切强度 解: 由截面法得剪力 剪切面积为
挤压面 由截面法得剪力 剪切面积为 (3) 挤压强度校核 F FS 这两部分的挤压力相等，故应取长度为t 的中间段进行挤压强度校核。 故销钉是安全的。

56 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 例题5.14 (a) (b) (c) 平键连接
齿轮与轴由平键连接，已知轴的直径d=70 mm，键的尺寸为b×h×L =20×12×100 mm，传递的扭转力偶矩Me=2 kN·m，键的许用切应力为[]= 60 MPa ，许用挤压应力为[bs]=100 Mpa。试校核键的强度. O F d Me ｝ n h b (a) FS Me n O (b) 0.5h FS n b (c)

57 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 例题5.14 (a) (b) (c) b FS b F h O O 0.5h FS
d Me ｝ n h b (a) FS Me n O (b) 0.5h FS n b (c) 解： （1）校核键的剪切强度 由平衡方程 得

58 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 例题5.14 (a) (b) (c) O F h b FS O 0.5h FS b 解：
d Me ｝ n h b (a) FS Me n O (b) 0.5h FS n b (c) 解： （2）校核键的挤压强度 或 由平衡方程得 平键满足强度要求。

59 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） 例题5.15 冲头  d 钢板 冲模 F 冲床的最大冲压力F=400 kN，冲头材料的许用压应力[]=440 MPa，钢板的剪切强度极限u=360 MPa，试求冲头能冲剪的最小孔径d和最大的钢板厚度  。

60 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） d = 34 mm F 例题5.15 F （1）冲头为轴向压缩变形 解： d  剪切面 冲头
钢板 冲模 F 例题5.15 F 剪切面 解： （1）冲头为轴向压缩变形 d = 34 mm

61 5.8 剪切和挤压的实用计算（2.13） δ = 10.4 mm F 例题5.15 F （2）由钢板的剪切破坏条件 解： d  剪切面
冲头  d 钢板 冲模 F 例题5.15 F 剪切面 解： （2）由钢板的剪切破坏条件 δ = 10.4 mm

62 五、基本变形（2）：剪切 受力特点：一对大小相等、方向相反、作用线距离很近的外力 剪 变形特点：作用力之间的截面发生相对错动 切
内力：沿截面作用的剪力 实用计算：切应力在剪切面上均匀分布， 剪切强度条件： 挤压 挤压实用计算：

63 本章复习 1、剪切受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用。 2、变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。
3、切应力的计算 式中， FS为剪力，A为剪切面的面积。 4、切应力强度条件：

64 本章复习 5、实用挤压应力公式 6、挤压强度条件

65 下次内容 第五章 基本变形(3)：扭转