习题课 第十章 重积分的 计算 及应用 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用.

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1 习题课 第十章 重积分的 计算 及应用 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用

2 一、重积分计算的基本方法 — 累次积分法 练习 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外: 面、线、点) 列不等式法 练习 P (3) ; 7 ; (1), (3)

3 解答提示: P180 2 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式

4 P181 7. 把积分 化为三次积分, 其中 由曲面 及平面 所围成的闭区域 . 提示: 积分域为 原式

5 P181 8 (1) .计算积分 其中 是两个球 ( R > 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 利用“先二后一” 计算方便 . 原式 =

6 8 (3).计算三重积分 P181 其中 是由 xOy平面上曲线 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 原式

7 二、重积分计算的基本技巧 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或质心公式简化计算 分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性
4. 利用扩展积分域进行计算 *5. 利用重积分换元公式 练习题 P , , (2), 答案提示: (见下页)

8 C 1(1). 设 由 确定 , 由 所确定 , 则 上半球 第一卦限部分 提示:
利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 , 右边为正 , 显然不对 , 故选 ( C )

9 1(2). 则 A 提示: 如图 , 由对称性知 在 上是关于 y 的奇函数 在 上是关于 x 的偶函数

10 P 证明: 提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得. P181 8(2). 其中 是 由球面 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域  上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0.

11 11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一
使整个 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 薄片的重心恰好落在圆心上 , 问接上去的均匀矩形薄片 的另一边长度应为多少? 由已知可知 即有 提示: 建立坐标系如图. 由此解得

12 例1. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 围成 . (2) D由直线 解: (1) 利用对称性.

13 (2) 积分域如图: 添加辅助线 将D 分为 利用对称性 , 得

14 例2. 计算二重积分 其中D 是由曲 线 所围成的平面域 . 解: 积分区域 其形心坐标为: 面积为: 形心坐标

15 例3. 计算二重积分 其中D 为圆域 在第一象限部分. 解: (1) 作辅助线 把D 分成 两部分, 则

16 (2) 提示: 作辅助线 将D 分成 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.

17 例4. 求抛物线 所围区域 D 的面积A . 解:如图所示 注: 上可积 , 则也可利用上述方法简化计算.

18 例5. 交换积分顺序计算 解. 积分域如图.

19 例6. 其中 解: 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义,得

20 三、重积分的应用 1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力
面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力 3. 其它方面 证明某些结论等

21 例7. 证明 证:左端 = = 右端

22 例8. 设函数 f (x) 连续且恒大于零, 其中 (1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性;
(2003考研)

23 解: (1) 因为 两边对 t 求导, 得  f (x) 恒大于零,

24 (2) 问题转化为证 即证 因 故有 因此 t > 0 时,

25 例9. 试计算椭球体 的体积 V. 解法1 利用“先二后一”计算.

26 *解法2 利用三重积分换元法. 令 则

27 作业 P155 *21, *22(1) P , 9 , 11 P ,