§3 函数的单调性.

Presentation on theme: "§3 函数的单调性."— Presentation transcript:

1 §3 函数的单调性

2 1.了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思.
2.理解函数单调性的概念，能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图像指出单调性、写出单调区间. 3.掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法，能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性.

3 引入新课 建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题．例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题.下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质——函数的单调性．

4 画出下列函数的图像，观察其变化规律： f(x) = x 1、从左至右图像上升还是下降? ____ 2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______ ． 上升 (-∞,+∞) 增大

5 画出下列函数的图像，观察其变化规律： f(x) = x2 1.在区间______上，f(x)的值随着x的增大而______． 2.在区间________上，f(x)的值随着x的增大而_____. (-∞,0] 减小 (0,+∞) 增大

6 如图，你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗？
-2 1 2 3 4 5 -3 -4 -5 -1 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？

7 1．增函数 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的．

8 2．减函数 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减小的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的．

9 3.单调区间，单调性，单调函数 如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减小的，那么称A为单调区间.
如果y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减小的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性. 如果y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.

10 注意： 1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2.必须是对于区间A内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2)，分别是增函数和减函数.

11 例1 说出函数 的单调区间，并指明在该区间上的单调性.
解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在 这两个区间上函数 是减小的.

12 练习：证明：函数 在(0，+∞)上是减函数。
证明: 设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则 f(x1)- f(x2)= 由于x1,x ,得x1x2>0,又由 x1<x2 ,得x2-x1>0, 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.

13 例2 证明函数 在R上是增函数. 证明：设 是R上的任意两个实数,且 则: 在R上是增函数.

14 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1.任取x1，x2∈A，且x1<x2； 2.作差f(x1)－f(x2)； 3.变形（通常是因式分解和配方）； 4.定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

15 注意： 函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变化．因此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点，端点无定义时不包括端点.

16 o 1. 如图,已知y=f(x) 的图像(包括端点),根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数. 1 2
-2 -1 o [-2,-1],[0,1]上是减函数;[-1,1],[1,2]上是增函数.

17 （-∞，2） 2.函数y=│x-2│的单调减区间是___________. （1，+∞） 3.函数 的单调增区间是_________.

18 4.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强将增大，试用函数的单调性证明之.
证明：根据单调性的定义，设 是定义域 上的任意两个实数，且

19 即

20 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.
⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是： ⑴设 是给定区间内的任意两个值，且 ⑵作差 并将此差变形(要注意变形的程度). ⑶判断 的正负（说理要充分）. ⑷根据 的符号确定其增减性.