陪集 例：三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是:

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1 陪集 例：三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中H4就是三次交代群A3。现在考察H1的陪集。

2 e H1=1H1=H1; 2H1=5H1={2, 5} 3H1=4H1={3, 4};H1e =H11=H H12=H14={2, 4};H13=H15={3, 5} 显然2H1H12, 5H1H15, 3H1H13, 4H1H14 这说明左、右陪集一般不等。

3 引理13.1：如果HG是子群,那么任一gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。
分析:证明基数相等的一种方法是证明两个集合之间存在双射. 证明:定义映射:HHg, (h)=hg 利用群消去律证明是一对一的. 而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有(h)=hg.

4 引理13.2：H为G的子群,g1,g2G,两个右陪集Hg1与Hg2,则: 或Hg1=Hg2,或Hg1∩Hg2=。
证明:利用等价类的性质. 例：设[H;]是群[G;]的子群，则 (1)若baH，则bH=aH (2)若bHa，则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得.

5 定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左陪集数与右陪集数相等.
三、拉格朗日定理 定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左陪集数与右陪集数相等. 证明：设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪集的集合。现在要证明的是|S|=|T|。考虑证明存在S→T的双射。 定义13.14：H为G的子群,关于H的所有不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 [E;+]是[Z;+]的子群，E在Z中指数？

6 定理13.17：G为有限群,H为其子群, 则H的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在G中的指数k。
例：设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整除|G|。 推论13.8：G为有限群，阶为素数p，则[G;*]是循环群。

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8 四、正规子群 定义13.15：H为群G的子群,当对任意的gG,gH=Hg,称H为G的正规子群,也可称为不变子群。
例：任意Abel群的子群都是正规子群。 三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中只有H4是正规子群

9 (1)H为正规子群，则应对G中每个元素g都有Hg=gH
(3)Hg=gH是表示两个集合相等，并不意味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hggh。 (4)Hg=gH是指，对任意hH，总存在h'H ，使得hg=gh'。

10 定理13.18：H是G的子群, 它又是正规的, 当且仅当,对任gG,hH,有g-1hgH。
设G={(x; y)|x,yR，x 0}, 在G上定义二元运算如下： (x, y)●(z,w)=(xz, xw+y) 对任意(x,y),(z,w) G。H={(1,y)|yR} 证明 (H; ●)是群(G;●) 的正规子群。

11 作业 P172 27,28,29,30,31 下次介绍商群，群同态基本定理。