STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS

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1 STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
第二章 压力容器应力分析 CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS 第四节 平板应力分析

2 主要内容 2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力
2.4 平板应力分析 过程设备设计 主要内容 2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力

3 2.4 平板应力分析 教学重点： 承受均布载荷时圆平板中的应力。 教学难点： 圆平板对称弯曲微分方程的推导。 2.4 平板应力分析
2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4 平板应力分析 教学重点： 承受均布载荷时圆平板中的应力。 教学难点： 圆平板对称弯曲微分方程的推导。

4 2.4.1 概述 应用 平封头：常压容器、高压容器； 储槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板；
2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.1 概述 应用 平封头：常压容器、高压容器； 储槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。

5 2.4.1 概述（续） （1）平板的几何特征及平板分类 中面是一平面 厚板与薄板 厚度小于其它 几何特征 方向的尺寸 分类
2.4 平板应力分析 2.4.1 概述（续） 过程设备设计 （1）平板的几何特征及平板分类 几何特征 中面是一平面 厚度小于其它 方向的尺寸 厚板与薄板 分类 大挠度板和小挠度板 图2-27 平板载荷和扰度关系曲线 t/b≤1/5时， w/t≤1/5时， 按小挠度薄板计算 图2-28 薄板

6 2.4.1 概述（续） （2）载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷） 载荷 横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷
2.4 平板应力分析 2.4.1 概述（续） 过程设备设计 （2）载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷） 载荷 横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷 中面内的拉、压力和面内剪力， 并产生面内变形 薄 膜 力—— 内力 弯矩、扭矩和横向剪力， 且产生弯扭变形 弯曲内力——

7 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多
2.4 平板应力分析 2.4.1 概述（续） 过程设备设计 ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多 ◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论

8 弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff
2.4 平板应力分析 2.4.1 概述（续） 过程设备设计 弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法线ω的挠度 。 只有横向力载荷 ②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 一法线上，且法线上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。

9 图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力
2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 分析模型 图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力

10 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 分析模型 半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 分析模型 半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量 在r、θ、z圆柱坐标系中 轴对称性 几何对称，载荷对称，约束对称， 在r、θ、z圆柱坐标系中 挠度 只是 r 的函数，而与θ无关。

11 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 微元体： (b) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力
2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 挠度微分方程的建立： 基于平衡、几何、物理方程 微元体： 用半径为r和r+dr的 两个圆柱面和夹角为 dθ的两个径向截面截 出板上一微元体如图2－29（a）、（b） (b) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力

12 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 微元体内力 微元体外力
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 挠度微分方程的建立： 基于平衡、几何和物理方程 径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 微元体内力 周向：Mθ、 Mθ 横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr (c) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力 微元体外力 上表面P=prdθdr

13 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） （1）平衡方程 微体内力与外力对圆柱面 切线T的力矩代数和为零， 即ΣMT=0 (d)
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （1）平衡方程 (d) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力 微体内力与外力对圆柱面 切线T的力矩代数和为零， 即ΣMT=0 （2-54） 圆平板在轴对称载荷下的平衡方程

14 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） W~ε （2）几何方程 取 径向截面上与 中面相距为z， 半径为 r 与 两点A与B构成的微段
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （2）几何方程 W~ε 取 径向截面上与 中面相距为z， 半径为 r 与 两点A与B构成的微段 图2－30 圆平板对称弯曲的变形关系

15 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 板变形后： 微段的径向应变为 过A点的周向应变为 作为小挠度 应变与挠度关系 的几何方程
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 板变形后： 微段的径向应变为 过A点的周向应变为 作为小挠度 ，带入以上两式， 应变与挠度关系 的几何方程 （2-55）

16 根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （3）物理方程 根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为 （2-56）

17 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） （4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 2-55代入2-56式： （2-57）
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 2-55代入2-56式： （2-57）

18 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（续） 通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 和 表示成 的形式。由式（2-57）可见， 和 沿着厚度（即z方 向） 均为线性分布， 图2-31中所示为径向应力的分布图。 图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系

19 “抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 、 的线性分布力系便组成弯矩 、 。 单位长度上的径向弯矩为： （2-58a） 同理 （2-58b） “抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关

20 受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程： （2-60）
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 2-58代入2-57， 得弯矩和应力的关系式为： （2-59） 2-58代入平衡方程2-54，得： 受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程： （2-60） Qr值可依不同载荷情况用静力法求得

21 2.4.3 圆平板中的应力 （圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用） 一、承受均布载荷时圆平板中的应力 简支 固支
2.4 平板应力分析 过程设备设计 圆平板中的应力 （圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用） 一、承受均布载荷时圆平板中的应力 简支 固支 二、承受集中载荷时圆平板中的应力

22 据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 一、承受均布载荷时圆平板中的应力 图2-32 均布载荷作用时圆板内Qr的确定 据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即： 代入2-60式中 均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为 对r连续两次积分 对r连续三次积分 （得到中面在弯曲后的挠度） 得到挠曲面在半径方向的斜率 （2-62） （2-61）

23 对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为 有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为：
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 C1、C2、C3均为积分常数。 对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为 有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为： （2-63） 式中C1、C3由边界条件确定。

24 2.4.3 圆平板中的应力（续） 图2-33 承受均布横向载荷的圆板
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件） 周边固支圆平板 周边简支圆平板 周边固支圆平板 周边简支圆平板 图2-33 承受均布横向载荷的圆板

25 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 1. 周边固支圆平板 在支承处不允许有挠度和转角 图2-33 周边固支圆平板 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数： 得周边固支平板的 斜率和挠度方程 代入式（2-63） （2-64）

26 将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式： （2-65） 由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式： （2-66）

27 图2-34a周边固支圆平板的弯曲应力分布（板下表面）
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。 最大应力在板边缘上下表面，即 图2-34a周边固支圆平板的弯曲应力分布（板下表面）

28 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3：
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 图2-33 承受均布横向载荷的 圆平板 2. 周边简支圆平板 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3： 代入式（2-63） （2-67） 得周边简支平 板的挠度方程

29 2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 弯矩表达式： （2-68） 应力表达式： （2-69）

30 不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处 ，
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处 ， 周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。 图2-34（b） 周边简支圆板的弯曲应力分布（板下表面）

31 这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 3. 支承对平板刚度和强度的影响 a. 挠度 （2-70） 周边固支时，最大挠度在板中心 周边简支时，最大挠度在板中心 （2-71） 简支 固支 这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。

32 这表明，周边简支板的最大正应力大于周边固支板的正应力。
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 b. 应力 周边固支圆平板中的 最大正应力为支承处 的径向应力，其值为 周边简支圆平板中的 最大正应力为板中心处 的径向应力，其值为 （2-72） （2-73） 这表明，周边简支板的最大正应力大于周边固支板的正应力。

33 2.4.3 圆平板中的应力（续） ◆挠度反映板的刚度 应力反映板的强度 周边固支的圆平板在刚度和强度 两方面均优于周边简支圆平板
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 ◆挠度反映板的刚度 应力反映板的强度 周边固支的圆平板在刚度和强度 两方面均优于周边简支圆平板

34 在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力 ， （ 处）
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 内力引起的切应力： 在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力 ， （ 处） 近似采用矩形截面梁中最大切应力公式 得到 最大正应力与 同一量级； 最大切应力则与 同一量级。 因而对于薄板R>>t，板内的正应力远比切应力大。

35 Wmax与圆平板的材料（E、μ）、半径、厚度有关
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 和 Wmax与圆平板的材料（E、μ）、半径、厚度有关 ●若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都 可减小挠度和降低最大正应力 ●工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于 固支条件 ●增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法 来提高平板的强度与刚度

36 ●板内为二向应力 、 。平行于中面各层相互之间的正 应力 及剪力 引起的切应力 均可予以忽略。
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 4. 薄圆平板应力特点 ●板内为二向应力 、 。平行于中面各层相互之间的正 应力 及剪力 引起的切应力 均可予以忽略。 ●正应力 、 沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最 大值，是纯弯曲应力。 ●应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板 周边支承是介于两者之间的形式。 ●薄板结构的最大弯曲应力 与 成正比，而薄壳的最大 拉 （ 压）应力 与 成正比，故在相同 条件下， 薄板所需厚度比薄壳大。

37 图2-35 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr
2.4 平板应力分析 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 二、承受集中载荷时圆平板中的应力 挠度微分方程式（2-60）中，剪力 图2-35 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr 可由图2-35中的平衡条件确定： 采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值

38 图2-36 外周边简支内周边承受均布载荷的圆环板
2.4 平板应力分析 过程设备设计 承受轴对称载荷时环板中的应力 图2-36 外周边简支内周边承受均布载荷的圆环板 ◆通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。 ◆当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。

39 2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力（续） 图2-37 圆环转角和应力分析
2.4 平板应力分析 承受轴对称载荷时环板中的应力（续） 过程设备设计 设圆环的内半径为 、外半径为 、形心处的半径为 、厚度t，沿其中心线（通过形心）均布力矩M的作用，如图2-37所示。文献[40]给出了导出圆环绕其形心的转角 和最大应力 （在圆环内侧两表面） （2-74） 图2-37 圆环转角和应力分析

40 2.4 平板应力分析 过程设备设计 作业： P86 7、10、11、12