数学软件 Mathematica —— 使用入门.

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1 数学软件 Mathematica —— 使用入门

2 主要内容 符号计算系统 Mathematica 基本用法 基本运算 符号计算 图形功能 程序设计（略）

3 符号计算系统 符号计算系统 也称为计算机代数 以推理为主，是一个表示数学知识和数学工具的系统
与代数计算、算法设计、机器学习、自动推理等紧密联系 一般由系统内核、符号计算语言和若干软件包组成 通常包括符号计算、数值计算、图形演示和程序设计 借助计算机速度快的特点，帮助人们完成在短时间内无法完成的公式推导计算。

4 更多符号计算软件参见课程主页相关网络链接。
符号计算系统 常见的符号计算软件 商业软件 Mathematica，Maple，MuPAD，MathCad 免费软件 Axiom，CoCoA，Derive，Euler，GAP，Maxima， . . . 更多符号计算软件参见课程主页相关网络链接。 符号计算软件的两种运行方式：交互方式和程序方式

5 Mathematica 介绍 Mathematica 由美国 Wolfram Research 公司于 1988 年推出，目前的最新版本为 Mathematica 8.04 Mathematica 很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统以及与其他应用程序的高级连接，是目前使用最广泛的数学软件之一，也是世界上符号计算系统中最强大的两个系统之一。 Mathematica 有简体中文版：中文界面和中文帮助 可在官方网站上下载试用版

6 Mathematica 欢迎界面

7 最好最完整的学习材料：系统自带的使用帮助和实例演示
Mathematica 工作界面 Mathematica 的工作平台：自带的 Notebooks 环境 Mathematica 工作界面 菜单栏 Notebooks 环境 在 Notebooks 环境下输入命令，系统执行后返回结果 最好最完整的学习材料：系统自带的使用帮助和实例演示

8 Mathematica 使用 Mathematica 语言规则 ① 所有命令和内置函数都是以大写字母开始 ② 函数的参数是在方括号中给出
③ 乘法运算符可以用空格代替（不建议这么做） ④ 内置的函数名通常都很长，使用函数的名字的全拼

9 Mathematica 使用 Mathematica 命令的执行（简称执行键） Shift + Enter
可以运行单个命令或语句 也可以运行多个语句：输入全部语句后再按执行键 命令（语句）分隔符：回车或分号 如果不需要显示运行结果：在语句后面加分号 输入和输出标识符：In[n]: 和 Out[n] In[1]:= Sin[Pi/4]+Cos[Pi/4] Out[1]=

10 数学公式的输入 数学公式的输入 直接输入 借助 Mathematica 提供的面板 (Palettes)
In[1]:= Sin[Pi/4]+Cos[Pi/4] 借助 Mathematica 提供的面板 (Palettes)

11 一些常用符号 () 运算的结合 f[x] 函数取值 {} 列表 [[k]] 分量 % 最后一次的计算结果 %% 倒数第二次的计算结果
第 k 次计算结果，即 Out[k] 的值 ?name 显示系统变量、命令或函数的简短介绍 ??name 显示系统变量、命令或函数的全部信息 (*comments*) 注解 Ctrl+K 命令补全功能

12 内部常数 Mathematica 中的数：普通数字和内部常数 整数，有理数，实数（任意精度和机器精度），复数 常用内部常数 Degree
角度到弧度的转换系数，Pi/180 E 自然对数的底， EulerGamma Euler 常数: GoldenRatio 黄金分割数： I 虚部单位 Infinity 无穷大 Pi 圆周率

13 基本运算符 基本运算： 算术运算 + - * / 加减乘除 ^ 幂 ! 阶乘（运算级别比加减乘除和幂运算高） 比较运算与逻辑运算
+ - * / 加减乘除 ^ 幂 ! 阶乘（运算级别比加减乘除和幂运算高） 比较运算与逻辑运算 == > < >= <= != && || ! Xor

14 变量与表达式 变量 表达式 通常字母开头，后面可以跟字母与数字 长度不限 区分大小写 可以包含希腊字母或中文，如 “数学”
用户自定义变量建议都用小写，避免与系统自带函数冲突 变量赋值：变量名=表达式 表达式 Mathematica 中一切皆为表达式 算术表达式，关系表达式，逻辑表达式，复合表达式

15 变量操作相关函数 例：已知 f(x,y)=2x+y, 计算 f(2,3) x=y=a 给多个变量赋相同的值 Unset[x] 或 x=.
清除变量的值 Clear[x1,x2,...] 清除变量 Print[x1,x2,...] 打印变量的值 expr/.{x->a,y->b,...] 变量替换 （变量本身没有被赋值） 例：已知 f(x,y)=2x+y, 计算 f(2,3) In[1]:= Clear[x,y]; In[2]:= f=2*x+y; In[3]:= f./{x->2,y->3} (* f(2,3) 的值 *) In[3]:= f./{2->5} (*把 2 替换成 5*)

16 数的基本运算 Mathematica 中的实数分精确数和双精度数
N[x,n] x 的带 n 位有效数字的近似值 N[x] x 的双精度近似值 IntegerPart[x] 整数部分 FractionalPart[x] 小数部分 Floor[x] 取整：不大于 x 的最大整数 Round[x] 取整：四舍五入 Ceil[x] 取整：不小于 x 的最小整数 Precision[expr] 显示计算精度 在 Mathematica 中，当输入的式子中所有数字都为整数时，输出的结果是精确的；但若式子中含有小数点，则通常以近似方式输出运算结果。

17 数字进制的转换 b^^xxxxx 输入一个 b 进制数 (2<=b<=36) BaseForm[x,b]
IntegerString[x,b] 同上，但写成字符串形式 FromDigits[str] 从字符串构造整数 FromDigits[list,b] 从 b 进制数字列表中构造整数 IntegerDigits[x,b] 十进制数 x 的 b 进制数字列表

18 内置函数 Mathematica 具有超过 3000 个内置函数，具体见 “帮助”  “参考资料中心” 的左下角处的 “函数索引”
“帮助”  “参考资料中心” 的左下角处的 “函数索引” Mathematica 函数命名规则 ① 第一个字母大写，后面跟小写字母，如 Sin[x], Log[x] ② 大多数函数名与数学中的名称相同 ③ 当函数名分为几段时，每一段的头一个字母大写，后面的用小写字母，如：ArcSin[x] 寻求帮助： ??函数名 In[1]:= ??Sin

19 常用初等函数 Abs[x] 绝对值 Sign[x] 符号函数 Power[x,y] 幂函数 x y Sqrt[x] 平方根 Exp[x]
Log[x], Log[b,x] 以 e 和 b 为底的对数函数 Factorial[n] n! Factorial2[n] n!! GCD[n1,n2,...] 最大公约数 GCD[list] 列表中所有数的最大公约数 LCM[n1,n2,...], LCM[list] 最小公倍数 Max[x1,x2,...], Max[list] 求最大值 Min[x1,x2,...], Min[list] 求最小值

20 常用初等函数 Re[x], Im[x] 提取实部和虚部 Conjugate[x] 取共轭 Arg[x] 辐角 Mod[m,n]
Quotient[m,n] m 除以 n 的整数商 Sin[x], Cos[x], ... 三角函数 ArcSin[x], ArcCos[x], ... 反三角函数 Sinh, Cosh, ..., 双曲函数 ArcSinh, ArcCosh, ... 反双曲函数 Prime[k] 第 k 个素数 PrimeQ[n] 判断 n 是否为素数 Binomial[n,m] 二项式系数

21 随机函数 Random[] 生成 [0,1] 内的一个随机实数 Random[Real, a] 生成 [0,a] 内的一个随机实数
Random[Real, {a,b}] 生成 [a,b] 内的一个随机实数 Random[Integer] 随机给出整数 0 或 1 Random[Integer, {a,b}] 生成 [a,b] 内的一个随机整数 Random[Complex] 生成一个 [0,1]X[0,1] 内的一个随机复数 In[1]:= Random[Real,10] In[2]:= Random[Integer,{1,100}]

22 打印函数 Print[x,y,...] 在屏幕输出变量的值 In[1]:= x=5; Print["x=",x]

23 函数调用方式 标准方式 ：函数名[变量列表] 其它方式 In[1]:= x=Pi/4; Sin[x]
In[2]:= x=Pi/4; x//Sin (* 后缀形式 *) In[3]:= x=Pi/4; (* 前缀形式 *) In[4]:= 5~Mod~ (* 中缀形式，等价于 Mod[5,3] *)

24 自定义函数 Mathematica 允许用户自定义函数，一般格式为 函数名[自变量名1_, 自变量名2_, ...]:= 表达式
这里函数名与变量名的规定相同 方括号中的每个自变量名后都要有一个下划线 “_” 中间的 “:=” 为定义号 注意符号表达式与函数的区别 f[x_]:=2*x-3 定义一个一元函数 f[x_,y_]:=Log[x/y]-Power[x,y] 定义一个二元函数 Clear[f] 清除自定义的函数 自定义函数前，最好先清除自变量的值，否则可能会出现意想不到的错误

25 自定义函数 In[1]:= f=2*x+y (* 符号表达式 *) In[2]:= g[x_,y_]:=2*x+y (* 函数 *)

26 字符串 字符串：用双引号括起来的字符序列 字符串相关函数 更多字符串相关函数参见 “参考资料中心” Characters[str]
转化为字符列表 StringJoin[s1,s2,...] 字符串合并 s1<>s2<>... StringLength[str] 字符串长度 StringSplit[str] 按空白字符分割字符串 ToExpression[str] 转化为表达式 ToString[expr] 将表达式转化为字符串 更多字符串相关函数参见 “参考资料中心”

27 列表 列表 是 Mathematica 的基本对象，可用来表示集合，数组等 分为标准列表和稀疏列表
标准列表： 用大括号括起来的有限个元素，元素之间用逗号分隔 In[1]:= x={1,2,"hello",{1,0}}; 列表中的元素可以是不同类型的任意 Mathematica 对象 列表可以嵌套，如 矩阵 稀疏列表：通常由 SparseArray 来定义 Mathematica 提供了上千个列表操作函数，参见 “参考资料中心”

28 列表生成 枚举法：利用大括号，直接输入 利用 Array，Range，Table 等函数 Table 中的 expr 一般给的是通项公式
Array[f,n] 生成一维列表 {f[1],f[2],...,f[n]} Array[f,{n1,n2,...}] 生成多维列表（嵌套）, 这里的 f 为函数 Range[a,b,h] 生成等差数列列表：a 为首项，h 为公差，最后一项不超过 b；a 和 h 的缺省值为 1 Table[expr,{n}] 生成 n 元列表 {expr,expr,...,expr} Table[expr,{i,a,b,h}] {expr|i 在 Range[a,b,h]中变化} Table[expr,{i,list}] {expr|i 在列表 list 中变化} Table 中的 expr 一般给的是通项公式 RandomInteger[range,n] 生成 n 个伪随机整数，range 表示取值范围 RandomReal[range,n] 生成 n 个伪随机实数，n 缺省值为 1

29 列表生成举例 生成二维列表 In[1]:= x=Array[Sin,3] Out[1]= {Sin[1], Sin[2], Sin[3]}
In[2]:= y=Table[Sin[k],{k,3}] Out[2]= {Sin[1], Sin[2], Sin[3]} In[3]:= f=RandomReal[{1,5},2] Out[3]= { , } 生成二维列表 In[4]:= z=Table[i*j,{i,3,5},{j,2,4,2}] Out[4]= {{6, 12}, {8, 16}, {10, 20}}

30 列表分量 list[[k]] 第 k 个分量 list[[-k]] 倒数第 k 个分量 list[[i]][[j]]
{list[[i]],list[[j]], ... } First[list] 第一个分量 Last[list] 最后一个分量 Take[list,k] 前 k 个分量 Take[list,-k] 最后 k 个分量 Take[list,{i}] {list[[i]]} Take[list,{i,j}] {list[[i]],list[[i+1]], ..., list[j]} list[[i;;j]] 同上 Take[list,{i,j,h}] {list[[i]],list[[i+h]], ... } list[[i;;j;;h]]

31 列表修改 Drop[list,{k}] 删除第 k 个分量 Drop[list,k] 删除前 k 个分量 Drop[list,-k]
Drop[list,{i,j,h}] 删除 list[[i]],list[[i+h]], ... Rest[list] 删除第一个分量 Most[list] 删除最后一个分量 Delete[list,k] Delete[list,-k] 删除倒数第 k 个分量 Delete[list,{i,j, ...}] 删除 list[[i,j,...]] Insert[list,x,k] 在第 k 个位置插入 x Prepend[list,x] 将 x 插入到 list 的最前面 PrependTo[list,x] 将 x 插入到 list 的最前面，并将结果赋给 list Append[list,x] 将 x 插入到 list 的最后面 AppendTo[list,x]

32 列表运算 当函数作用在列表上时，表示作用在每个分量上 利用列表可以同时给多个变量赋值 Sort[list] 从小到大排序
Reverse[list] 将列表中的元素顺序倒过来 Apply[Plus,list] 求列表中所有元素之和 Apply[Times,list] 求列表中所有元素之积 Total[list] Length[list] 列表元素的个数 当函数作用在列表上时，表示作用在每个分量上 In[1]:= x=Range[0,Pi,Pi/4]; In[2]:= y=Sin[x] 利用列表可以同时给多个变量赋值 In[3]:= {x,y}={2,3}

33 矩阵定义 矩阵是列表的一种，可用 Array，Table 等函数创建 Array[函数名,取值范围] Array[f,n]
生成向量 {f[1],f[2],...,f[n]} Array[f,{m,n}] 生成 m 行 n 列的矩阵 f[i,j] In[1]:= Clear[i,j]; f[i_,j_]:=1/(i+j-1); In[2]:= A=Array[f,{3,3}]

34 矩阵定义 Table[通项公式,{循环范围},{循环范围},...] 循环范围表示方法 {i,a,b,h}
i 从 a 到 b，步长为 h，最后一项不超过 b {i,a,b} 缺省步长为 1 {i,b} 缺省首项为 1 {k} 重复 k 次 Table[expr,{i,a,b,h}] 向量 Table[expr,{i,a1,b1,h1},{j,a2,b2,h2}] 矩阵

35 矩阵举例 In[1]:= x=Table[0,{5}] (* 长度为 5 的零向量 *)
In[2]:= A=Table[0,{5},{5}] （* 5 阶零矩阵 *） In[3]:= A=Table[1/(i+j-1),{i,3},{j,3}] In[4]:= B=Table[x+y,{x,2,6,2},{y,3,12,3}] In[5]:= P=Table[Binomial[i,j],{i,0,4},{j,0,i}]; In[6]:= TableForm[P] (* 杨辉三角形 *)

36 矩阵分量 MatrixForm[A] 按矩阵方式显示 TableForm[A] 按表格方式显示（没有括号） Dimensions[A]
矩阵的维数（行数和列数） Dimensions[A,k] 矩阵的前 k 重维数 A[[i,j]] 矩阵分量 aij A[[All,j]] 矩阵第 j 列 Take[A,{i1,i2,...},{j1,j2,...}] 子矩阵 In[1]:= Take[A,{1,2},{2,3}]//MatrixForm

37 特殊矩阵 IdentityMatrix[n] n 阶单位矩阵 ConstantArray[c,{m,n}]
生成 m 行 n 列的常数矩阵，元素都为 c DiagonalMatrix[list] 以列表 list 中的元素为对角线的对角矩阵 HilbertMatrix[n] n 阶的 Hilbert 矩阵 RandomInteger[range,{m,n}] m 行 n 列的伪随机整数矩阵 range 表示元素取值范围 RandomReal[range,{m,n}] m 行 n 列的伪随机实数矩阵 In[4]:= A=RandomReal[{0,1},{3,4}] In[5]:= Dimensions[A,1] (* 矩阵的行数 *)

38 矩阵运算 设 A，B 是矩阵，a 是标量，b 是向量 A+B, A-B, A+a, A-a 矩阵加减 A.B 普通矩阵乘积 A*B, A/B
对于分量相乘或相除 Det[A], Inverse[A] 行列式与矩阵的逆 Transpose[A] 转置（不取共轭） ConjugateTranspose[A] 共轭转置 MatrixRank[A] 矩阵的秩 Eigenvalues[A] 特征值 Eigenvectors[A] 特征向量 Eigensystem[A] 特征值和特征向量 LinearSolve[A,b] 解线性方程组 Ax=b

39 符号计算 多项式运算（略） 解代数方程（略） 解微分方程（略） 计算极限 计算导数 计算积分

40 计算极限 例：计算 和 Limit[f,x->a] x 趋向于 a 时 f 的极限
Limit[f,x->a,Direction->1] 左极限 Limit[f,x->a,Direction->-1] 右极限 例：计算 和 In[1]:= Limit[Sin[x]/x, x->0] In[2]:= Limit[1/x, x->0, Direction->1]

41 计算导数 例：计算 和 D[f,x] 计算 f 关于 x 的导数 D[f,x,y] 二重偏导数 D[f,x,y,...] 多重偏导数
D[f,{x,n}] n 重导数 例：计算 和 In[1]:= D[Sin[x]*Tan[x], {x,2}] In[2]:= D[Sin[x*x*y^3], x, y]

42 计算积分 例：计算 和 例：计算 的精确值和近似值 Integrate[f,x] 计算 f 关于 x 的不定积分（省略积分常数）
Integrate[f,x,y] 二重积分（积分顺序自右向左） Integrate[f,{x,a,b}] 定积分，积分区间为 [a,b] NIntegrate[f,{x,a,b}] 数值积分 例：计算 和 In[1]:= Integrate[3*a*x*x, x] In[2]:= Integrate[2*x+y, x, y] (* 注意积分顺序 *) 例：计算 的精确值和近似值 In[3]:= Integrate[Sin[Sin[x]], {x,0,Pi}] In[4]:= NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x,0,Pi}]

43 作图 二维曲线做图 函数作图 参数方程作图 极坐标作图 散点图 三维做图 三维曲线作图 三维曲面函数作图 三维曲面参数方程作图

44 二维函数作图 曲线方程： 常用作图选项 Plot[f,{x,a,b}] 画 f 关于 x 的图像，绘图区间为 [a,b]
Plot[f,{x,a,b},options->val] 带绘图选项 Plot[{f1,f2,...}, {x,a,b}] 在一个绘图区域做多个函数的图像 常用作图选项 AspectRatio 图形的高宽比，缺省为 0.618 AxesLabel 坐标轴标注，缺省为不加标注 AxesStyle 坐标轴的粗细 PlotLabel 标题，缺省为不加 PlotPoint 作图时计算的点数，缺省为 25 BaseStyle 坐标轴属性：颜色，标注字体大小 PlotStyle 指定线型，颜色，粗细（最常用的选项）

45 作图选项 BaseStyle 和 PlotStyle 取值 线型 Dashed, Dotted, DotDashed 粗细
Thin, Thick, Thickness[w] （w[0,1],通常小于 0.1） 颜色 Red, Blue, White, Green, Yellow, Black, ... RGBColor[r,g,b] 字体大小 FontSize->大小 In[1]:= Plot[Sin[x^2]/(x+1), {x,0,2*Pi}] In[2]:= Plot[Sin[x^2]/(x+1), {x,0,2*Pi}, AxesLabel->{x,f[x]}, AxesStyle->Thick, PlotLabel->y==sin[x]/(x+1), BaseStyle->{RGBColor[0.6,0.6,0.2], FontSize->15}, PlotStyle->{Blue,Thick,Dashed}]

46 作图选项 更多作图选项 可输入命令 Options[Plot] 查看 Plot 的所有作图选项 Filling->Axis
Ticks->None 取消刻度 Axes->None 取消坐标轴 Frame->True 加边框 FrameLabel 边框标注 In[3]:= Plot[Sin[x^2]/(x+1), {x,0,2*Pi}, Filling->Axis, Frame->True, BaseStyle->{FontSize->15}, PlotStyle->{Blue,Thick,Dashed}] 可输入命令 Options[Plot] 查看 Plot 的所有作图选项

47 参数方程作图 曲线方程： 该函数也可以同时绘制多个图像 ParametricPlot[{x,y},{t,a,b}]
In[3]:= ParametricPlot[{Sin[t],Sin[2*t]}, {t,0,2*Pi}, BaseStyle->{FontSize->15}, PlotStyle->{Blue,Thick,Dashed}] 该函数也可以同时绘制多个图像 ParametricPlot[{{x1,y1},{x2,y2},...}, {t,a,b}]

48 参数方程作图 In[4]:= ParametricPlot[{{2*Cos[t],2*Sin[t]}, {2*Cos[t],Sin[t]}, {Cos[t],2*Sin[t]}, {Cos[t],Sin[t]}}, {t,0,2*Pi}, PlotStyle->{{Blue,Thick}, {Red,Dashed}, {Green,Dotted}, {Black,DotDashed}}]

49 极坐标方程作图 曲线极坐标方程： PolarPlot[r,{,,}] 极坐标方程作图，可带绘图选项
In[1]:= PolarPlot[2, {t,0,2*Pi}] In[2]:= PolarPlot[t, {t,0,3*Pi}] In[3]:= PolarPlot[{0.5,0.5+1/24*Sin[12*t]}, {t,0,2*Pi}] In[4]:= PolarPlot[Exp[Cos[t-Pi/2]]-2*Cos[4*(t-Pi/2)] Sin[(t-Pi/2)/12]^5, {t,0,36*Pi}, Axes->None]

50 散点图 给的数据点： 常用选项 ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},...}] 散点图
ListPlot[{y1,y2,...}] 数据点：{(1, y1), (2, y2), ... } ListPlot[list,Joined->True] 画过数据点的连线 ListLinePlot[list] 带连线的散点图 ListPolarPlot[list] 极坐标下的散点图 常用选项 PointSize[a] 点的大小，通过 PlotSytle 来设置 PlotMarkers->{g,size} 点的形状和大小（可通过面板 Palettes 输入）

51 散点图 In[1]:= list=Table[{x,Sin[x]},{x,-Pi,Pi,Pi/10}];
ListPlot[list,BaseStyle->{FontSize->15}, PlotStyle->{PointSize[0.03]}] In[2]:= ListPlot[list,PlotMarkers->{"", 25}] In[3]:= ListPolarPlot[{Sin[Range[0, 12*Pi, Pi/20]], *Sin[Range[0, 12*Pi, Pi/20]]}, Joined->True, Axes->None]

52 三维曲线作图 三维曲线方程： ParametricPlot3D[{x,y,z},{t,a,b},选项] 三维曲线绘图
In[1]:= ParametricPlot3D[{t*Sin[t],t*Cos[t],t}, {t,0,100},PlotStyle->{Blue,Thickness[0.005]}]

53 三维曲面作图 曲面方程： 例：画 的立体图 Plot3D[z,{x,a,b},{y,c,d}] 三维曲面绘图
例：画 的立体图 In[1]:= Plot3D[Sin[x+y]*Cos[x+y],{x,0,Pi},{y,0,Pi}]

54 三维曲面作图 常用选项 Boxed->False 去除立体方框 Mesh->None 去除网格 BoxRatios
立体方框的比例，缺省为 {1,1,0.4} Opacity[数字] 透明度，缺省不透明，通过 PlotSytle 来设置 In[2]:= Plot3D[Sin[x]*Cos[2*y], {x,-3,3}, {y,-2,2}, Boxed->False, Axes->None, Mesh->False, PlotStyle -> {Opacity[0.8]}]

55 三维曲面参数方程作图 三维曲面参数方程： ParametricPlot3D[{x,y,z},{u,a,b},{v,c,d},选项]
In[1]:= ParametricPlot3D[{3*Sec[u]*Cos[v],3*Sec[u]*Sin[v], *Tan[u]}, {u,-Pi/3,Pi/3},{v,0,2*Pi}, Boxed->False]

56 三维做图演示 In[1]:= ParametricPlot3D[{ {4+(3+Cos[v])*Sin[u],4+(3+Cos[v])*Cos[u],4+Sin[v]}, {8+(3+Cos[v])*Cos[u],3+Sin[v],4+(3+Cos[v])*Sin[u]}}, {u,0,2*Pi},{v,0,2*Pi},Boxed->False]

57 图形组合 图形组合：将多个图形放在一个绘图区域中 Show[pic] 显示图形表达式
Show[pic,options->values] 按指定的选项显示图形表达式 Show[pic1,pic2,...] 将多个图形放在一个绘图区域中 In[1]:= pic1=ParametricPlot3D[{3*Sec[u]*Cos[v], *Sec[u]*Sin[v],5*Tan[u]}, {u,-Pi/3,Pi/3},{v,0,2*Pi},Boxed->False]; (* 单页双曲面 *) In[2]:= pic2=ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v], *Sin[u]*Sin[v], 2*Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2*Pi}]; (* 球面 *) In[3]:= Show[pic1,pic2] (* 组合两个图形 *)

58 图形组合

59 动画做图演示 In[1]:= Manipulate[Plot[Sin[n*x]/(x+1),{x,0,2*Pi}, PlotStyle->{RGBColor[(10-n)/10,n/10,0], Thickness[0.01]}], {n,1,20,1}]