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实验六 利用Mathematica求函数极值 实验目的：综合利用求导，解方程及确定极值的相关知识求一元及多元函数极值。 预备知识：
(一)极值概念及确定极值的必要条件、充分条件 (二)最值与极值的关系，最值的确定 (三)Mathematica中求函数极值相关命令
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边学边做： (一)用命令FindMinimum求极小值： FindMinimum[f[x],{x,x0}] FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}] （1）先作图，观察之后求函数 在 [-3，3]内的极值 （2）作图之后求函数 的极值 (二）用求驻点的方法求函数极值 (1)求函数 的极值 (2)求函数 的最值
![边学边做： (一)用命令FindMinimum求极小值： FindMinimum[f[x],{x,x0}] FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}] （1）先作图，观察之后求函数 在 [-3，3]内的极值.](http://slidesplayer.com/slide/17252653/100/images/2/%E8%BE%B9%E5%AD%A6%E8%BE%B9%E5%81%9A%EF%BC%9A+%28%E4%B8%80%29%E7%94%A8%E5%91%BD%E4%BB%A4FindMinimum%E6%B1%82%E6%9E%81%E5%B0%8F%E5%80%BC%EF%BC%9A+FindMinimum%5Bf%5Bx%5D%2C%7Bx%2Cx0%7D%5D+FindMinimum%5Bf%5Bx%2Cy%5D%2C%7Bx%2Cx0%7D%2C%7By%2Cy0%7D%5D+%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%85%88%E4%BD%9C%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E8%A7%82%E5%AF%9F%E4%B9%8B%E5%90%8E%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E5%9C%A8+%5B-3%EF%BC%8C3%5D%E5%86%85%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%80%BC..jpg "（2）作图之后求函数 的极值. (二）用求驻点的方法求函数极值. (1)求函数 的极值. (2)求函数 的最值.")
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（三）Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值
（1）求函数 的极值、拐点，描绘该函数图像 （2）设函数 在 两点处都取得极值，试确定 的值，并问这时 在 处是取得极大值还是极小值？
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学生实验： 一、基础部分 1．求函数 在[5，20]上的极值 2．求函数 的单调区间。 3. 求函数 的极值点与极值.
![学生实验： 一、基础部分 1．求函数 在[5，20]上的极值 2．求函数 的单调区间。 3. 求函数 的极值点与极值.](http://slidesplayer.com/slide/17252653/100/images/4/%E5%AD%A6%E7%94%9F%E5%AE%9E%E9%AA%8C%EF%BC%9A+%E4%B8%80%E3%80%81%E5%9F%BA%E7%A1%80%E9%83%A8%E5%88%86+1%EF%BC%8E%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E5%9C%A8%5B5%EF%BC%8C20%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%80%BC+2%EF%BC%8E%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%8C%BA%E9%97%B4%E3%80%82+3.+%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%80%BC%E7%82%B9%E4%B8%8E%E6%9E%81%E5%80%BC..jpg "学生实验： 一、基础部分 1．求函数 在[5，20]上的极值 2．求函数 的单调区间。 3. 求函数 的极值点与极值.")
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二、应用部分 (1)当a为何值时, 在 处有极值,求此极值,并说明是极大值还是极小值. (2)若函数 在x=-1处有极大值为8,在x=2处有极小值为-19,求a,b,c,d. (3)把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面高h与宽b如何选择时,才能使梁的抗弯截面系数 达到最大? (4)求表面积为a2且体积最大的长方体体积.
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实验六内容详解： 一、利用命令FindMinimum求极小值 1、命令格式 一元函数：FindMinimum[f[x],{x,x0}] 功能：以 为初始条件，求函数 的极小值。 多元函数：FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}] 功能：以 ， 为初始条件，求函数 的极小值。
![实验六内容详解： 一、利用命令FindMinimum求极小值. 1、命令格式. 一元函数：FindMinimum[f[x],{x,x0}] 功能：以 为初始条件，求函数 的极小值。](http://slidesplayer.com/slide/17252653/100/images/6/%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E5%85%AD%E5%86%85%E5%AE%B9%E8%AF%A6%E8%A7%A3%EF%BC%9A+%E4%B8%80%E3%80%81%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%91%BD%E4%BB%A4FindMinimum%E6%B1%82%E6%9E%81%E5%B0%8F%E5%80%BC.+1%E3%80%81%E5%91%BD%E4%BB%A4%E6%A0%BC%E5%BC%8F.+%E4%B8%80%E5%85%83%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%9AFindMinimum%5Bf%5Bx%5D%2C%7Bx%2Cx0%7D%5D+%E5%8A%9F%E8%83%BD%EF%BC%9A%E4%BB%A5+%E4%B8%BA%E5%88%9D%E5%A7%8B%E6%9D%A1%E4%BB%B6%EF%BC%8C%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%B0%8F%E5%80%BC%E3%80%82.jpg "多元函数：FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}] 功能：以 ， 为初始条件，求函数 的极小值。")
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2、边学边做 （1）求函数 在[-3，3]内的极值 解 自定义函数 f[x_]:=x^4-2*x^2; 作函数图像 Plot[f[x],{x,-3,3},AxesLabel->{x,y}] 因而可确定函数在[-3，3]内有两个极小值，相应选择初始值求得函数在不同区间内的极小值。 FindMinimum[f[x],{x,-2}] \输出结果为-1，x->-1 FindMinimum[f[x],{x,0.5}]\输出结果为1，x->1 本题还有一极大值，Mathematics中没有提供求函数极大值的命令，因而需作转化 FindMinimum[-f[x],{x,-0.5}] \输出结果为0，x->0
![2、边学边做 （1）求函数 在[-3，3]内的极值. 解 自定义函数 f[x_]:=x^4-2*x^2; 作函数图像 Plot[f[x],{x,-3,3},AxesLabel->{x,y}]](http://slidesplayer.com/slide/17252653/100/images/7/2%E3%80%81%E8%BE%B9%E5%AD%A6%E8%BE%B9%E5%81%9A+%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E5%9C%A8%5B-3%EF%BC%8C3%5D%E5%86%85%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%80%BC.+%E8%A7%A3+%E8%87%AA%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%87%BD%E6%95%B0+f%5Bx_%5D%3A%3Dx%5E4-2%2Ax%5E2%3B+%E4%BD%9C%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F+Plot%5Bf%5Bx%5D%2C%7Bx%2C-3%2C3%7D%2CAxesLabel-%3E%7Bx%2Cy%7D%5D.jpg "因而可确定函数在[-3，3]内有两个极小值，相应选择初始值求得函数在不同区间内的极小值。 FindMinimum[f[x],{x,-2}] \输出结果为-1，x->-1. FindMinimum[f[x],{x,0.5}]\输出结果为1，x->1. 本题还有一极大值，Mathematics中没有提供求函数极大值的命令，因而需作转化. FindMinimum[-f[x],{x,-0.5}] \输出结果为0，x->0.")
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（2）求函数 的极值 解 作函数图形（作法见第二节） FindMinimum[x^2+y^2-x*y-3x-2y+3,{x,0.5},{y,0.5}] \输出结果为{ ,{x-> ,y-> }}
![（2）求函数 的极值 解 作函数图形（作法见第二节） FindMinimum[x^2+y^2-x*y-3x-2y+3,{x,0.5},{y,0.5}] \输出结果为{ ,{x-> ,y-> }}](http://slidesplayer.com/slide/17252653/100/images/8/%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%80%BC+%E8%A7%A3+%E4%BD%9C%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%BD%A2%EF%BC%88%E4%BD%9C%E6%B3%95%E8%A7%81%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E8%8A%82%EF%BC%89+FindMinimum%5Bx%5E2%2By%5E2-x%2Ay-3x-2y%2B3%2C%7Bx%2C0.5%7D%2C%7By%2C0.5%7D%5D+%5C%E8%BE%93%E5%87%BA%E7%BB%93%E6%9E%9C%E4%B8%BA%7B+%2C%7Bx-%3E+%2Cy-%3E+%7D%7D.jpg "（2）求函数 的极值 解 作函数图形（作法见第二节） FindMinimum[x^2+y^2-x*y-3x-2y+3,{x,0.5},{y,0.5}] \输出结果为{ ,{x-> ,y-> }}")
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二、用求驻点的方法求函数极值 边学边做 (1)求函数 的极值 解 自定义函数f[x_]:=4*(x+1)/(x^2+1); Df=f’[x];Df2[x_]:=f’’[x]; 解方程求驻点 NSolve[Df==0,x] 输出结果为x1= ，x2= 用二阶导数判别极值 f’’[ ]= >0，函数有极小值 f[ ] \输出结果 f’’[ ]= <0，函数有极大值 f[ ] \输出结果 可作图验证
![二、用求驻点的方法求函数极值 边学边做. (1)求函数 的极值. 解 自定义函数f[x_]:=4*(x+1)/(x^2+1); Df=f’[x];Df2[x_]:=f’’[x];](http://slidesplayer.com/slide/17252653/100/images/9/%E4%BA%8C%E3%80%81%E7%94%A8%E6%B1%82%E9%A9%BB%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%9E%81%E5%80%BC+%E8%BE%B9%E5%AD%A6%E8%BE%B9%E5%81%9A.+%281%29%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%80%BC.+%E8%A7%A3+%E8%87%AA%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%87%BD%E6%95%B0f%5Bx_%5D%3A%3D4%2A%28x%2B1%29%2F%28x%5E2%2B1%29%3B+Df%3Df%E2%80%99%5Bx%5D%3BDf2%5Bx_%5D%3A%3Df%E2%80%99%E2%80%99%5Bx%5D%3B.jpg "解方程求驻点 NSolve[Df==0,x] 输出结果为x1= ，x2= 用二阶导数判别极值. f’’[ ]= >0，函数有极小值. f[ ] \输出结果 f’’[ ]= <0，函数有极大值 f[ ] \输出结果 可作图验证.")
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(2)求函数 的最值 解 自定义函数 f[x_,y_]:=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x; 求驻点Solve[{D[f[x,y],x]==0,D[f[x,y],y]==0}] \输出结果为{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}} 比较各点函数值 f[x,y]/.% \输出结果为 {27，31， -5，-1} 可求得最值为31
![(2)求函数 的最值 解 自定义函数. f[x_,y_]:=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x; 求驻点Solve[{D[f[x,y],x]==0,D[f[x,y],y]==0}]](http://slidesplayer.com/slide/17252653/100/images/10/%282%29%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%80%BC+%E8%A7%A3+%E8%87%AA%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%87%BD%E6%95%B0.+f%5Bx_%2Cy_%5D%3A%3Dx%5E3-y%5E3%2B3%2Ax%5E2%2B3%2Ay%5E2-9%2Ax%3B+%E6%B1%82%E9%A9%BB%E7%82%B9Solve%5B%7BD%5Bf%5Bx%2Cy%5D%2Cx%5D%3D%3D0%2CD%5Bf%5Bx%2Cy%5D%2Cy%5D%3D%3D0%7D%5D.jpg "\输出结果为{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}} 比较各点函数值 f[x,y]/.% \输出结果为 {27，31， -5，-1} 可求得最值为31.")
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三．Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值
边学边做 1．求函数 的极值、拐点，描绘该函数图像 解 自定义函数 f[x_]:=x^3-3*x^2-9*x+5; 画图可观察函数的主要性态Plot[f[x],{x,-5,5}] 解方程求驻点并赋值 m=Solve[f’[x]==0,x]; \找驻点结果为{x->-1},{x->3} 取得m中的数值 x1=x/.m[[1]];x2=x/.m[[2]]; 计算二阶导数值以判别能否取得极值p1=f’’[x1];p2=f’’[x2]; 判别并输出结果 Which[p1==0,Print[失效]，p1>0，Print[“f[-1]”极小值]，p1<0，Print[“f[-1]”极大值]]
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n= Solve[f’’[x]==0,x]; \ {x->1} 取得n中的数值y1=x/.n[1]
找二阶导数为零的点并赋值 n= Solve[f’’[x]==0,x]; \ {x->1} 取得n中的数值y1=x/.n[1] 计算x=1近旁两点二阶导数值以判别能否成为拐点 q=f’’[y1-0.1]*f’’[y1+0.1]; 判别并输出结果 Which[q>0，Print[无拐点]，p<0，Print[“(“1”,”f[1]”)”,拐点]] 注：（1）Which命令 格式：Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…，条件n，表达式n] 执行方式为依次检验条件，得到第一个条件为真的语句时，将对应表达式的值输出。 （2）Print命令 格式：Print[表达式1，表达式2，…] 执行方式为依次输出表达式的值，若想原样输出表达式或字符，需加引号成为字符串。
![n= Solve[f’’[x]==0,x]; \ {x->1} 取得n中的数值y1=x/.n[1]](http://slidesplayer.com/slide/17252653/100/images/12/n%3D+Solve%5Bf%E2%80%99%E2%80%99%5Bx%5D%3D%3D0%2Cx%5D%3B+%5C+%7Bx-%3E1%7D+%E5%8F%96%E5%BE%97n%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%80%BCy1%3Dx%2F.n%5B1%5D.jpg "找二阶导数为零的点并赋值. n= Solve[f’’[x]==0,x]; \ {x->1} 取得n中的数值y1=x/.n[1] 计算x=1近旁两点二阶导数值以判别能否成为拐点 q=f’’[y1-0.1]*f’’[y1+0.1]; 判别并输出结果 Which[q>0，Print[无拐点]，p<0，Print[ ( 1 , f[1] ) ,拐点]] 注：（1）Which命令. 格式：Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…，条件n，表达式n] 执行方式为依次检验条件，得到第一个条件为真的语句时，将对应表达式的值输出。 （2）Print命令. 格式：Print[表达式1，表达式2，…] 执行方式为依次输出表达式的值，若想原样输出表达式或字符，需加引号成为字符串。")
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