椭圆的简单几何性质.

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1 椭圆的简单几何性质

2 回顾复习： 椭圆的定义： 椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程的推导.
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于│F1F2 │）的点的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 椭圆的标准方程： 1焦点在x轴时：x2∕a2＋y2 ∕b2＝1（a>b>0) 2焦点在y轴时： x2∕b2＋y2 ∕a2＝1 (a>b>0) 椭圆的标准方程的推导.

3 椭圆的简单几何性质—研究问题 1、顶点： 从图象上看A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
方程： Y B2 1、顶点： 从图象上看A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) 因此，椭圆与它的对称轴共有四个交点， 即：A1，A2，B1，B2。这四个点叫做椭圆的顶点。 线段A1A2叫椭圆的长轴，其长度等于2a;线段B1B2叫椭圆的短轴，其长度等于2b;线段C1C2叫椭圆的焦距，其长度等于2c. 在三角形F2OB2中│OB2│＝b， │OF2│＝c， │F2B2│＝a。在直角△ F2OB2中直观地显示出a，b，c三者之间的关系。 a b A1 A2 O c F1 F2 X B1

4 椭圆的简单几何性质—研究问题 从方程上看： 令y＝0，得x＝＋a，可知椭圆与x轴有两个交点，分别为：A1（－a，0），A2（a，0）。
令x＝0，得y＝＋b，可知椭圆与y轴有两个交点，分别为：B1（0，－b），B2（0，b）。

5 椭圆的简单几何性质—研究问题 2、范围： 方程： 从图象上看：-a≤x≤a,-b≤y≤b 从方程看： O c Y B2 a b A1 A2
F1 F2 X B1

6 椭圆的简单几何性质—研究问题 3、对称性： 方程： 从图形上看， O 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
B2 3、对称性： 从图形上看， 从方程上看： a b A1 A2 椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 O c F1 F2 X B1 （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

7 椭圆的简单几何性质—研究问题 4.离心率(圆扁度) 思考： 1 椭圆的离心率在什么范围内？ 当椭圆的离心率从0到1时椭圆的变化是怎 么样的？
方程： Y B2 4.离心率(圆扁度) a b A1 A2 O c F1 F2 X 思考： 1 椭圆的离心率在什么范围内？ 当椭圆的离心率从0到1时椭圆的变化是怎 么样的？ 当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？ B1

8 椭圆的简单几何性质—研究问题 因为a>c>0，所以0<e<1.当e越靠近1，则c越趋近于a，从而b越小，因此椭圆越扁，反之，e越趋近于0，c越趋近于0，从而b越趋近于a，这时椭圆越趋近于圆。 显然当e=0时为圆 当0<e<1时为椭圆 当e=1时为线段

9 椭圆的简单几何性质—研究问题 性 图象 质 范围 方程 对称性 0<e<1 0<e<1 顶点坐标
离心率 y x y o o x -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b) (-b,0), (b,0), (0,-a), (0,a) x轴、y轴、原点对称 x轴、y轴、原点对称 0<e<1 0<e<1

10 椭圆的简单几何性质—例题讲解 例1：求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和短轴长，焦点坐标，定点坐标和离心率。并用描点法画出它的图形。
例2：、我国自行研制的“中星20号”通讯卫星，于2003年11月15日升空精确地进入预定轨道。这颗卫星运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地球表面距离是212km，远地点与地球表面地距离是4198km。已知地球半径为6371km。求这颗卫星运行轨道地近似方程（长、短半轴长精确到0.1km）

11 椭圆的简单几何性质—练习 练习A (3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1 ① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上
1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。 （1）x2+9y2= (2) 25x2+9y2=225 (3) 16x2+y2= (4) 4x2+5y2=1 2. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。 ① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P（－2，0），Q（0，－3）两点 ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。 3. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。

12 椭圆的简单几何性质—课堂练习 补充练习 (±a,0) a (0, ±b) b (-a,0) a+c (a,0) a-c

13 椭圆的简单几何性质—作业布置 练习B 1，2 1.设a,b,c分别表示同一椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距长,则a,b,c的大小关系是