初中数学 中点问题专题 滨海县第一初级中学 王锦中.

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1 初中数学 中点问题专题 滨海县第一初级中学 王锦中

2 中点问题的相关模型： 1、三角形的中位线定理； 2、“直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半”；

3 3、“三线合一”性质定理； 4、倍长中线构造全等三角形。

4 模型一 出现多个中点或平行＋中点常考虑构造三角形中位线
模型一 出现多个中点或平行＋中点常考虑构造三角形中位线 模型分析 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE＝ BC，解决线段之间的相等或比例关系及平行问题．

5 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为(　　)
【解析】 ∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°， ∵对角线AC与BD相交于点O， E是边CD的中点， ∴EO是△DBC的中位线， ∴EO∥BC， ∴∠1＝∠ACB＝40°.

6 B 2. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是 ( )
A B C D. 18 B 【解析】如解图，延长BN交AC于D， 在△ANB和△AND中, ∴△ANB≌△AND， ∴AD＝AB＝8，BN＝ND， ∵M是△ABC的边BC的中点， ∴MN是△BDC的中位线， ∴DC＝2MN＝6， ∴AC＝AD＋CD＝14. D

7 模型二 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”
模型二　直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半” 模型分析 直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD＝AD＝BD＝ AB来解题，可简记为“直角＋中点，等腰必呈现”．此模型作用：①证明线段相等或求线段长； ②构造角相等进行等量代换．

8 3. 如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC.
求证：BD平分∠ABC. 证明：如解图，∵ AD⊥DB，点E为AB的中点， ∴DE＝BE＝ AB. ∴∠1＝∠2， ∵DE∥BC， ∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴BD平分∠ABC.

9 4. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
( 1 )求证：MN⊥DE； ( 2 )若BC＝20，DE＝12，求△MDE的面积．

10 ( 1 )证明：如解图，连接ME、MD， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴DM＝ BC， 同理可得EM＝ BC， ∴DM＝EM， ∵N是DE的中点， ∴MN⊥DE； ( 2 )解：∵BC＝20，DE＝12， ∴DM＝10，DN＝6， 由( 1 )可知∠MND＝90°， ∴MN＝8， ∴S△MDE＝48.

11 模型三 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
模型三　等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质 模型分析 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到：BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，解决线段相等及垂直问题、角度转化及相等问题．

12 B 5. 如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，E是AC上一点，且AE＝AD，若∠AED＝75°，则∠EDC的度数是 ( )
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° B 【解析】 ∵在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC， ∴AD⊥BC； 又∵AD＝AE，∠AED＝75° ∴∠ADE＝75° ∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°.

13 D 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长度为 ( ) A .2 B. C. D.
【解析】如解图，连接AM， ∵AB＝AC，点M为BC中点， ∴AM⊥CM，BM＝CM， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BM＝CM＝3， 在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3， ∴根据勾股定理得AM＝4, 又S△AMC＝ MN·AC＝ AM·MC , ∴MN＝

14 模型四 遇到三角形一边上的中点(中线或类中线与中点有关的线段)，考虑倍长中线构造全等三角形

15 模型分析 当遇见中线或者中点时，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，证明线段间的数量关系．

16 7.如图，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，则AD的取值范围为____ ___． 1＜AD＜6
分析：如解图，延长AD至点E， 使得AD＝DE，连接CE，在△ABD和△ECD，∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE＝AB=7， ∵ AC=5 ∴ 2<AE<12 ∴ 1<AD<6 E

17 8.已知：如图，在正方形ABCD，E是BC边上一点，F是CD的中点，且AE＝DC＋CE. 求证：AF平分∠DAE.
G

18 证明：如解图，延长AF至点G，使得AF＝GF，连接CG，在△ADF和△GCF，∴△ADF≌△GCF(ASA)，
∴AD＝CG，∠DAF＝∠G， ∵EG＝EC＋CG，AE＝DC＋CE， ∴EG＝AE， ∴∠FAE＝∠G， ∠DAF＝∠G， ∴∠FAE＝∠DAF， 即AF平分∠DAE.

19 谢谢！