第七章 導線測量之誤差傳播 7.1 序言 7.2 縱橫距預估誤差之推導 7.3 導線邊方位角預估標準誤差之推導

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1 第七章 導線測量之誤差傳播 7.1 序言 7.2 縱橫距預估誤差之推導 7.3 導線邊方位角預估標準誤差之推導
7.4 多邊形導線閉合差之計算與分析 7.5 連結導線閉合差之計算與分析 7.6 結論 問題

2 7.1序言 專案計畫之規格可能允許不同等級之精確度，但量測中的一些大錯則不能接受。測量員常面臨的問題是：當資料存在大錯時如何告知？本章將開始討論這類問題，特別強調導線測量分析，第19章會討論更詳細。 第5章曾證明量測函數之估計誤差與個別量測誤差有關；通常平面測量(如導線測量)中之觀測是互相獨立的，譬如線長之距離與其方位角量測互相獨立；但根據距離與方位角所計算之縱距與橫距則非互相獨立。由圖7.1 可見距離(a)與方位角(b)誤差對所計算之縱橫距之影響；由圖亦可見縱橫距彼此相關(此即：改變距離或方位角，縱橫距均會改變)。

3 因為假設計算縱橫距所根據之觀測量為互相獨立且不相關，故可利用SLOPOV方式或(5
因為假設計算縱橫距所根據之觀測量為互相獨立且不相關，故可利用SLOPOV方式或(5.15)式來計算其預估誤差；但若利用這些計算值來推算函數時，必須考慮相關性之效應，則應利用GLOPOV方式或(5.12)式來計算其預估誤差，譬如導線測量之閉合差。 7.2 縱橫距預估誤差之推導 在計算導線邊之縱橫距時，常用下列公式： Lat = D cos(Az) (7.1) Dep= D sin(Az) 式中，Lat為縱距，Dep為橫距，Az為方位角，D為導線邊之平距；為推導縱橫距之估計誤差，在利用(5.15)式時，需對(7.1)式偏導：

4 例7.1 假設導線邊長139.2540.006m，方位角為23°35´26 9，縱橫距與其估計誤差各若干？
解：利用(5.15) 矩陣式： 將偏導數代入上式，得：

5 將數值代入(7.3)式，得： (7.4)式中，211為縱距之變方，222為橫距之變方， 12與21為縱距與橫距之協變方，故縱距之標準偏差：Lat= (211)½ =±0.006m，橫距之標準偏差：Dep= (222)½ =±0.006m；由(7.4)式可見：協變方矩陣之非對角線上元素非為0，故縱橫距之計算值為互相相關，如圖7.1所示。

6 7.3 導線邊方位角預估標準誤差之推導 (7.1)式係由導線邊之方位角來計算縱橫距，但實際上，邊之方位角常非由觀測值，而由量測角度直接計算，由角度值計算之方位角存在另一層次之誤差傳播，如下述之分析；觀測內角，方位角則沿著導線方向而逆時鐘計算，如下式所示： Azc=Azp+180º+i (7.5)式中，Azc為正計算邊之方位角，Azp為前一邊之方位角，i為用來計算之相對應內角，利用(5.17)式，正計算邊方位角之估計誤差為： 式中，i為內角之誤差，其他各項如前所定義。

7 7.4 多邊形導線閉合差之計算與分析 一般測量可知，對閉合多邊形導線，存在一幾何條件： 內角=(n-2)×180º (7.7)
且  Lats =縱距和= (7.8)  Deps=橫距和= (7.9) 與上述條件之不符值，即所謂閉合差，可根據導線之觀測值來計算。統計分析閉合差時，可決定閉合差合理或接受與否，也可看出觀測值中是否存在大錯。若存在大錯，須捨去量測值，並重複觀測；下例為閉合多邊導線之計算。 例7.2 計算圖7.2所示導線之角度與線性閉合差，導線觀測數據如表7.1所列，距離單位為m，在95％之信心水準下，預估閉合差為若干？是否有任何可能之大錯存在？

8 解：首先檢核內角是否在指定容許範圍內閉合，利用(5. 18) 矩陣式，又代入7. 1表中各角度標準偏差值，即角度和誤差須位於 之68
解：首先檢核內角是否在指定容許範圍內閉合，利用(5.18) 矩陣式，又代入7.1表中各角度標準偏差值，即角度和誤差須位於 之68.3％內；又因每個角度觀測四次，各角度平均值自由度為3，查表D.3，得t0.025,3=3.183，故在95％之信心水準下，角度閉合差預估為： 由表7.1知：實際的角度閉合差為19  ±24.6，故在95％之信心水準下，沒理由相信存有角度大誤差。

9 方位角計算：本題並無任何已知方位角，為解決這個問題，可假設第一邊之方位角為0°0´0，且無誤差，可以這麼假設，因為問題僅在檢核導線之幾何閉合條件，而非檢核導線的方位，即使觀測了第一個邊方位角，也是如此。利用(7.5)與(7.6)式，各邊方位角及其估計標準誤差計算如表7.2所示。 線性閉合差計算：在計算導線線性閉合差時，應利用(5.12)式來考量縱橫距之相關性，利用(7.2)式計算縱橫距之偏導數後，可得係數矩陣A如(7.10)式所示。

10 因為觀測距離與角度為互相獨立，彼此不相關，因此，利用(5.15)式解得協變方矩陣之為：

11 將數值代入(7.10)與(7.11)式，縱橫距之協變方矩陣
lat,dep=AAT如(7.12)式所示。求(7.12)式各對角線元素的平方根，即可得每一邊縱橫距之估計誤差，譬如BC邊之縱距估計誤差為(7.12)式中(3,3)元素之平方根， BC邊之橫距估計誤差為(7.12)式中(4,4)元素之平方根；其餘邊縱橫距之估計誤差同理類推。 閉合多邊形導線之限性閉合差如下所求： LC=[(LatAB+LatBC++LatEA)2+(DepAB+DepBC++DepEA)2]½ (7.13) 為計算限性閉合差之估計誤差，將(5.15)式應用至(7.13)式之前，需先求得(7.13)式中線性閉合差對各邊縱橫距之偏導數，譬如LC對AB邊縱橫距之偏導數為： 由上可見：這些偏導數均與邊無關，且其他邊之偏導數亦如同 (7.14)式，故(5.15)式中之係數矩陣A如下：

12 例7. 2之縱橫距計算如表7. 3所示，由表可見：縱距和為-0. 025m，橫距和為0. 007m，線性閉合差為0
例7.2之縱橫距計算如表7.3所示，由表可見：縱距和為-0.025m，橫距和為0.007m，線性閉合差為0.026m。將這些數值代入(5.15)式，得閉合差之之協變方矩陣或 σ2LC=LC=Alat,depAT如(7.16)式所示，其中之A如(7.15)式所示， lat,dep則如(7.12)式所示；LC為僅有單一元素之矩陣。接著計算E95，查表D.3，得α=0.05, 自由度=3之t0.025,3=3.183；在95％之信心水準下，線性閉合 差預估為：±0.046m， 比實際閉合差0.026m高很多，在95％之信心水準下，沒理由相信導線存有大誤差。 (自由度=11-8？)

13 7.5 連結(附合)導線閉合差之計算與分析 圖7.3所示為兩端各附合於已知點之附合導線，類此通常為求解如圖中之A、B、C、D等點之位置，另求解角度與線性閉合差，以評估觀測值之接受與否。如例7.3所述。 例7.3 計算圖7.3所示導線之角度與線性閉合差，導線觀測數據如表7.4所列，距離單位為m，在95％之信心水準下，預估閉合差為若干？評估是否有任何可能之大錯存在？

14 解： 角度閉合差：計算附合導線之角度閉合差時，先求各邊方位角之初值，再將最後邊所得減去其已知值；根據(7.5)與(7.6)式，求得各邊方位角初值及其估計誤差計算如表7.5所列。由表可見：最後邊計算值與其已知值之差為+9(=84º19´22-(264º19´13-180º))，而利用(5.18)式，得其預估誤差為( )1/2=±11.7，實際值小於未乘以t之預估值，沒理由假設角度存有大錯。

15 線性閉合差計算：在計算導線線性閉合差時，根據已知點數據，1、2兩點之縱橫距差應各為：-92. 050m與1104. 900m，而由表7
線性閉合差計算：在計算導線線性閉合差時，根據已知點數據，1、2兩點之縱橫距差應各為： m與 m，而由表7.6得知：1、2兩點實際之縱橫距差各為： m與 m，故根據觀測求得之縱橫距閉合差分別為：-0.039m與-0.010m，線性閉合差為此兩者平方之平方根=0.040m。 導線預估線性閉合差：下列計算類似前述閉合導線，先求縱橫距之A、Σ係數矩陣，次求縱橫距誤差之協變方矩陣，再求線性閉合差誤差之協變方矩陣，如下諸式所示。

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17 將數值代入(7.19)與(7.20)式，並應用(5.15)式，得縱橫距誤差之協變方矩陣，如下式所示。
為求導線線性閉合差之預估誤差，應將(5.15)式應用至(7.18)式，類似閉合導線， A係數矩陣內各項與邊不相關，故A係數矩陣為：

18 同理，附合導線閉合差之預估誤差如下： LC=ALat,DepAT=[ ]。 由上述結果，LC為僅有單一元素之矩陣。接著計算E95，查表D.3，得α=0.05, 自由度=3(=11-8？)之t0.025,3=3.183；在95％之信心水準下，預估線性閉合差=±3.183× ½m=±0.087m，比實際閉合差0.040m高很多，在95％之信心水準下，沒理由相信導線存有大誤差。 利用傳統方式，譬如羅盤儀法則平差計算附合導線時，常假設控制無誤差；實際上，控制坐標也是由觀測值所推導的，自然包含誤差，對應用(7.21)式時，也假設控制點坐標沒誤差，嚴謹計算時，應修正相關計算式。最小自乘法平差的主要優點即因平差計算時可包含控制，詳如第十八章所述。

19 7.6 結論 本章透過導線計算討論觀測誤差之傳播；對測量員而言，誤差傳播是很有用的工具，可用之回答下列問題：哪些是可接受之導線閉合差？測量工程的一個例子：測量員常設計觀測系統，並利用自己或法定標準來檢核測量成果。之後各章仍會繼續討論誤差傳播相關主題與測量之偵錯。 問題 第7.2、7.7、7.9、7.11題，各題中單位更改為公制。檔名：Adjlab7_姓名.doc，請標明原題號。