第三章 线性方程组 §4 n维向量及其线性相关性（续7）

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1 第三章 线性方程组 §4 n维向量及其线性相关性（续7）
定理7 向量组A:α1, α 2,…,αm线性相关的充要条件为： 矩阵[α1, α 2,…,αm]的秩r<m; 线性无关的充要条件为:r=m. 证：向量组A线性相关 即 (k1,k2,...,km不全为零) 方程组 有非零解X=

2 第三章 线性方程组 §4 n维向量及其线性相关性（续8）
例1 设 分别讨论 和 的线性相关性. 解： 线性无关 线性相关

3 第三章 线性方程组 §4 n维向量及其线性相关性（续9）
解1： R(En)=n, ∴线性无关. 解2：设 即 ∴x1,x2,...,xn必全为零. 线性无关.

4 第三章 线性方程组 §4 n维向量及其线性相关性（续10）
定理7 的4个推论： 线性无关， 推论1.设向量组A： 亦线性无关. 则向量组B: 证： 线性无关， ≤m =m ∴向量组B亦线性无关.

5 第三章 线性方程组 §4 n维向量及其线性相关性（续11）
推论2.设m>n,则m个n维向量必线性相关. 证：将这m个n维向量构成矩阵：[α 1 α α m]n×m 其秩R[α 1 α α m] ≤n < m ∴ α 1, α 2,..., α m线性相关. 推论3.若α1, α2,..., αm线性无关，而α1, α2,..., αm,b线性相 关, 则b可由向量组α1, α2,..., αm线性表示，且表法唯一. 证：设b=x1 α 1+x2 α 2+…+xm α m,则有, 设A=[α1 α2 ... αm], B=[α1 α2 ... αm b] R(A)=m ≤ R(B) < m+1 ∴R(B)=m ∴方程组AX=b有解，且解唯一.证毕.

6 第三章 线性方程组 §4 n维向量及其线性相关性（续12）
推论4.若矩阵A 中有一个r阶子式Dr≠0,则 Dr 所在的r个行(列)向量线性无关. 证：Dr 所在的r列构成矩阵: B=[b1 b2 ...br]. Dr为B的一个最高阶非零子式. ∴R(B)=r, b1, b2 ,...,br线性无关.

7 第三章 线性方程组 §4 n维向量及其线性相关性（续13）
例3 已知α 1,α2, α3线性无关，又 证明：β1, β2, β3 亦线性无关. 证1：设 x1 β 1+x2 β2+x3 β3 =0, 即 因为α 1,α2, α3线性无关， 系数行列式|A|= (1) ∴ R(A)=3,方程(1)只有零解， ∴ β1, β2, β3线性无关.

8 第三章 线性方程组 §4 n维向量及其线性相关性（续14）
例3 已知α 1,α2, α3线性无关，又 证明： β1, β2, β3 亦线性无关. 证2：[β1, β2, β3]=[α 1+α2, α2+α3 , α3+ α1] R[β1, β2, β3]=R[α 1,α2, α3] =3, ∴ β1, β2, β3线性无关.