1 第五章 频率响应分析法 经典控制理论最重要、最主要的分析方法； 根据开环系统的稳态频率特性图，分析闭环系统 的稳定性、稳定裕度及动态性能； Nyquist 1932 年提出频域稳定判据， Bode 1940 年 提出简化作图的对数坐标系； 系统的频率特性具有明确的物理意义，既可实验 获取，也可由传递函数得到。

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1 1 第五章 频率响应分析法 经典控制理论最重要、最主要的分析方法； 根据开环系统的稳态频率特性图，分析闭环系统 的稳定性、稳定裕度及动态性能； Nyquist 1932 年提出频域稳定判据， Bode 1940 年 提出简化作图的对数坐标系； 系统的频率特性具有明确的物理意义，既可实验 获取，也可由传递函数得到。

2 2 本章主要内容  频率特性（基本概念，图示方法、稳态 误差分析）；  典型环节的频率特性；  系统开环频率特性的绘制；  Nyquist 稳定判据；  控制系统的稳定裕量。

3 3 1. 频率特性的基本概念 仿真实验取 T=1 ， A 1 =1 ω 由小变大 u1u1 u2u2 R C i 5.1 频率特性

4 4 输入 u 1 =sin(0.5t) 输出 u 2

5 5 输入 u 1 =sin(2t) 输出 u 2

6 6 输入 u 1 =sin(5t) 输出 u 2

7 7 观察到的现象： 当输入为正弦信号时, 系统输出稳态仍为同频率的 正弦信号, 只是幅值和相位发生了变化。 原因？ u1u1 u2u2 R C i

8 8 分析：零初始条件、正弦输入时的输出为 幅频特性 相频特性 频率特性： 幅频特性和相频特性

9 9 频率特性与传递函数的关系： 上述结论对一般的线性定常系统都成立。 （可扩展用于不稳定系统）

10 10 应用频率法求正弦输入时的稳态误差 G 1 (s) G 2 (s) H(s) Y(s)R(s) - E r (s) 注：即使存在纯时滞环节也同样适用（下页例） 系统稳定

11 11 G 1 (s) G 2 (s) H(s) Y(s)R(s) - E r (s) 用后面的判据可 知系统稳定

12 12 小结 ①幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳 态衰减（或放大）特性； ②相频特性表示系统在不同频率正弦信号作用 下稳态输出的相位移； ③已知系统的传递函数，令 s=jω ，可得系统 的频率特性（无论稳定与否）； ④频率特性虽然表达的是频率响应的稳态特性， 但包含了系统的全部动态结构参数，反映了 系统的内在性质；频率从 0→∞ 的稳态特性反 映了系统的全部动态性能。

13 13 ２. 频率特性的图示方法 （１）幅相频率特性图 又称极坐标图，奈奎斯特（ Nyquist ）图．

14 14 描点后可得惯性环节 的幅相频率特性图 计算列表： ω 0 1 2 5 ∞ A(ω) 1 0.707 0.45 0.196 0 φ(ω) 0 － 45° － 63.4° － 78.69° － 90° 实际为半圆

15 15 s 平面 G(jω) 平面 jQ P MATLAB 绘图： a=tf([1],[1 1]); nyquist(a)

16 16 （ 2 ）对数频率特性图（伯德图, Bode plots ） 由对数幅频特性和相频特性两个图组成。 （后面讲）

17 17 1. 0 型系统 5.2 开环系统极坐标图的绘制

18 18 例：

19 19 例： 2. 1 型系统 0 jω σ s 平面

20 20 对于 1 型系统，一定有 ω→0 + 时，实部 → 有限 值

21 21 3. 2 型系统

22 22 例： 0 对于 2 型系统，一定有 ω→0 + 时，实部和虚部都 →∞

23 23 例： 0

24 24 练习 : B5.4

25 25 5.3 Nyquist 稳定判据 一、幅角原理（映射定理） s 在 s 平面上沿一封闭围线 C s 绕一圈  F(s) 在 F(s) 平面 上会映射为一封闭围线 C F 。 Im Re σ s 平面 0 0 jω F(s) 平面 CsCs CFCF

26 26  C s 顺时针方向围绕 F(s) 的一个零点  映射曲线 C F 顺时针 方向包围 F(s) 平面的坐标原点一周.  C s 顺时针方向围绕 F(s) 的 Z 个零点  映射曲线 C F 顺时针 方向包围 F(s) 平面的坐标原点 Z 周. 对于 C s 以外的零极点， F(s) 的相 应部分的相角变化量为零

27 27  C s 顺时针方向围绕 F(s) 的一个极点  映射曲线 C F 反时针 方向包围 F(s) 平面的坐标原点一周.  C s 顺时针方向围绕 F(s) 的 P 个极点  映射曲线 C F 反时针 方向包围 F(s) 平面的坐标原点 P 周.

28 28 幅角原理：如果 s 平面上的围线 C s 以顺时针方向 围绕 F(s) 的 Z 个零点和 P 个极点，则其在 F(s) 平 面上的映射曲线 C F 围绕 F(s) 平面的坐标原点反 时针方向旋转 N = P - Z 周。 Im Re σ s 平面 0 0 jω F(s) 平面 CsCs CFCF

29 29 取 s 平面上封闭围线 C s 为图所示, 二、 Nyquist 稳定判据 G(s) H(s) - R(s)Y(s) 在 C s 的 C 1 段，有 在 C s 的 C 2 段，有 D 形围线, 或 Nyquist 周线 所以映射曲线 C F 为 F(s) 的频率 特性曲线。

30 30 若 Nyquist 周线包围了 F(s) 的 Z 个零点和 P 个极点 （均在右半开平面），则 F(jω) 将包围坐标原点 N = P - Z 周。 闭环系统不稳定的极点数为 Z = P - N Im Re 0 F(jω) 平面 CFCF

31 31 ∴ F(jω) 围绕 F(jω) 平面的坐标原点等价于 G(jω)H(jω) 围绕 GH 平面上的 (-1, j0) 点。 F(jω) 围绕情况转换为 G(jω)H(jω) 的围绕情况 Im Re GH(jω) 平面 Re 0 F(jω) 平面 0 Im

32 32 不稳定闭环极点数： Z = P - N j0) 点 P 周。 1, 围(围( 包 (jω) 逆时针方向平面，则 G(jω)H 右半开在s在s 且已知有 P 个开环极点，开环系统不稳定若 2) ； j0) 点 1, 围(围( ) 曲线不包则 G(jω)H(jω ， 0 即P即P ，开环系统稳定若 1) 充要条件是的闭环系统稳定   

33 33 不稳定闭环极点数： Z = P - N

34 34

35 35 MATLAB 绘图命令： a=tf(2,[1 1],'ioDelay',0.5); nyquist(a) 可描点绘图或用 MATLAB 命令绘图

36 36 -0.52 改变增益对稳定性的 影响：

37 37 K=4 时有几个不稳定闭环极点？ 继续增大 K, 不稳定闭环极点个数如何变化？

38 38

39 39

40 40 Nyquist 周线 绕过原点

41 41 Im Re GH 平面 Im Re GH 平面 由修正后的 Nyquist 周线画出 GH 映射 曲线后,Nyquist 稳定判据同前。 （在虚轴上的开环极点不计入 P ）

42 42 ∵ P=0, N=0 ∴系统闭环稳定。 ∞ 1 型系统完整的 Nyquist 曲线

43 43 ∞ 2 型系统完整的 Nyquist 曲线

44 44 练习 : B5.12, 5.14

45 45 5.4 对数频率特性图 （伯德图, Bode plots ） 对数幅频特性： 当频率增大或减小 10 倍（十倍频程）时，坐标间距离 变化一个单位长度。（见图） 优点：计算和作图方便，例如 而且容易与横坐标形成近似直线方程 图 由对数幅频特性和相频特性两个图组成。

46 46 幅频特性的对数坐标系 L(ω)(dB) L(ω)=20lgA(ω) 0.111010023 124681020406080100 ω lg ω 0 12

47 47 相频特性的对数坐标系 0.1110100 相角没有必要取对数

48 48 对数幅频特性为 相频特性为 在对数坐标系中是直线方程， 斜率为 -20dB/dec （ dec 表示 10 倍频程） 幅频特性的近似作图：

49 49 伯德图中的对数幅频特性的近似绘制 -20dB/dec 与精确曲线的最大误差发生在 1/T 处，为 20 0 40  20   dBL)(  修正

50 50 精确的 Bode 图 MATLAB 绘图： a=tf([1],[1 1]); bode(a)

51 51 5.5 典型环节的伯德图 1. 比例环节 K 比例环节的 Bode 图

52 52 惯性环节的 Bode 图 2. 惯性、一阶微分环节

53 53 惯性与一阶微分环节的 Bode 图对称于零分贝线 或零度线

54 54 3. 积分、微分环节 2) 微分 1) 积分

55 55 3 3) 多重积分

56 56 4. 振荡与二阶微分环节 —— 低频渐近线

57 57 —— 高频渐近线 阻尼比较小时，幅 频特性曲线有峰值； 如何求谐振峰值 、 谐振频率？

58 58 二阶微分环节与振荡环节的 Bode 图对称于零分贝线或零度线（略）  振荡环节的谐振峰值与谐振频率

59 59 5. 滞后环节

60 60 设开环传递函数为 5.6 开环系统伯德图的绘制 则幅频特性和相频特性分别为 近似作图时，幅频特性在很多情况下只需对转折频 率以后部分进行叠加（仅增益与微积分环节除外） 先绘制

61 61 例： 绘制 Bode 图。 解： 转折频率为 2 和 10

62 62 幅频特性 近似绘制 注意：相频特性与幅频特性斜率的变化趋势一致

63 63 频率特性 精确绘制

64 64 最小相位系统与非最小相位系统 传递函数的表现形式： 开环传函的零极点全部位于左半闭平面上 （包括虚轴），且不含时滞环节。 非最小相位系统： 开环传函至少有一个零点或极 点位于右半开平面上（不包括 虚轴） ，或含有时滞环节。 jω 0 s 复平面 σ 最小相位系统：幅频特性相同，相角变化量 最小的系统。

65 65 最小相位与非最小相位系统的频率特性 例 1 ：设 a 和 b 两个系统的开环传函分别为 两个系统的幅频特性相同, 相频特性却不同：

66 66 最小相位系统的相角变化小于非最小相位系统， 且相频与幅频斜率的变化趋势一致．

67 67 例 2 ：有 2 个系统，开环传递函数分别为 则两个系统的幅频特性相同, 相频特性却不同：  )(   0  90 )( 1  decdB/20  )( 2    45 最小相位系统的相角变化 小于非最小相位系统，且 相频与幅频斜率的变化趋 势一致．

68 68 1. 低频段对数幅频特性的斜率为 -20νdB/dec 时，相 频特性趋于－ 90°×ν （ ν ：积分环节数 ） ； 2. 中频段相频特性随对数幅频特性的斜率而变化； 3. 高频段对数幅频特性的斜率 -20 （ n － m ） dB/dec 时，相频特性趋近于 － 90°× （ n － m ） 最小相位系统对数幅频特性和相频特性的关系： 如前面的例（见下页）：

69 69 相频特性与幅频特性斜率的变化趋势一致

70 70 最小相位系统的特点： 1. 对于具有相同幅频特性的系统，最小相位系统 的相角变化量最小； 2. 幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关 系，因此通常只须绘制幅频特性图； 3. 直接由对数幅频特性就可以写出其传递函数 （相当于频域的系统辨识）。 非最小相位系统不存在上述对应关系．

71 71 练习 : B5.8, 5.9

72 72   dB L()L() ()() (-)(-) (+) 0 (b) 开环对数频率特性曲线 (+) (a) 开环幅相频率特性曲线 (-)(-) Im Re 0 5.7 根据 Bode 图判断系统的稳定性

73 73 K 增大或减小 要使系统稳定， 应如何调整 K ？ 4.02

74 74 对比 K=12.6 时的 Nyquist 图

75 75 1 型系统的频率特性及稳定性判别

76 76 应作 ω 从 0 变到 0 + 的辅助线 ! 改变增益或延迟 时间的影响？ 1 型系统的 Bode 图 临界稳定时的增益 或延迟时间？

77 77 改变增益的效果：

78 78 改变延迟时间的效果：

79 79 2 型系统的频率特性及稳定性判别

80 80 2 型系统的 Bode 图 应作 ω 从 0 变到 0 + 的辅助线 ! 改变增益或延迟时 间的影响？

81 81

82 82 实验 3 ：频率特性的测试及分析 （ 2 学时） 联系：李亚力老师 电气信息学院专业实验楼 403 85466288→8216 ， 13330961802

83 83 练习 : B5.13

84 84 5.8 控制系统的稳定裕量 1. 增益裕量 g m 2. 相角裕量 γ cc  (c)(c) Re Im 0 G k (j  ) gg 1 Nyquist 图

85 85  cc  dB L()L() ()() 0 gm gm  gg 1. 增益裕量 g m 2. 相角裕量 γ Bode 图情况下的稳定裕量

86 86 返回

87 87 gm gm  gg cc -28 -104 如何用计算的办 法求 g m 和 γ ？

88 88 增益裕量的计算： 用计算的办法求稳定裕量 即先求 ω g ，再求 g m

89 89 相角裕量的计算： 相角裕量的近似计算： 题 题 即先求 ω c ，再求 γ  L()L() 0 cc 1 520

90 90 gm gm gg -28 题 题

91 91 gm gm gg -28 题 题

92 92 gm gm  gg cc -12.9 题 题

93 93 5) 仿真分析 仿真： ac5no1 仿真结构图

94 94 K=1 K=10 K=4.416 单位阶跃响应 time y

95 95 － 40dB/dec 最小相位系统的对数幅频特性与稳定裕量

96 96 R(s) Y(s) -  L()L() 0 cc K -20dB/dec

97 97 R(s) Y(s) -  L()L() 0 cc K -20dB/dec -40dB/dec 1/T

98 98  L()L() 0 cc K -20dB/dec -40dB/dec 1/T

99 99 R(s) Y(s) -  L()L() 0 cc -20dB/dec -40dB/dec 1/T 2 1/T 1 -40dB/dec 3.16 一般应使 ω c 位于中频段的几何中心点，对应的相 角裕量最大。

100 100 一般应使 ω c 位于中频段的几何中心点，对应的相 角裕量最大。  L()L() 0 cc -20dB/dec -40dB/dec 1/T 2 1/T 1 -40dB/dec 3.16 计算：

101 101 使 ω c 位于几何中心点的计算  L()L() 0 cc -20dB/dec -40dB/dec 1/T 2 1/T 1 -40dB/dec

102 102 T 1 =1, T 2 =0.01 T 1 =2, T 2 =0.00125 T 1 =0.5, T 2 =0.08 ω c 位于中频段的几何中心点， 对应的相角裕量最大 增益裕量？

103 103 T 1 =1, T 2 =0.01 单位阶跃响应 time y T 1 =2, T 2 =0.00125 T 1 =0.5, T 2 =0.08

104 104 练习 B5.20 ， B5.23

105 105 练习汇总 B5.4, B5.8, B5.9 (c), B5.12, B5.13 B5.14, B5.20 ， B5.23 End of Chapter 5