第九章 常微分方程数值解法 §1 、引言. 微分方程的数值解：设方程问题的解 y(x) 的存在区间是 [a,b] ，令 a= x 0 < x 1 <…< x n =b, 其中 h k =x k+1 -x k, 如是等距节 点 h=(b-a)/n, h 称为步长。 y(x) 的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数.

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1 第九章 常微分方程数值解法 §1 、引言

2 微分方程的数值解：设方程问题的解 y(x) 的存在区间是 [a,b] ，令 a= x 0 < x 1 <…< x n =b, 其中 h k =x k+1 -x k, 如是等距节 点 h=(b-a)/n, h 称为步长。 y(x) 的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数 值方法求得 y(x) 在每个节点 x k 上 y(x k ) 的近似值，用 y k 表示， 即 y k ≈ y(x k ) ，这样 y 0, y 1,...,y n 称为微分方程的数值解。

3 微分方程离散化常用方法

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6 §2 尤拉（ Eular) 方法

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8 2 、 Euler 方法的误差估计

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10 3 、 总体方法误差 (1)

11 3 、 总体方法误差 (2)

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13 4 、微分方程数值解的稳定性

14 Euler 法的绝对稳定区域

15 二、向后（后退的） Euler 方法

16 向后 Euler 法的稳定性

17 三、梯形公式

18 梯形公式的稳定性

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22 四、改进的尤拉公式 梯形公式虽然提高了精度，但使算法复杂。而在实际计算中 只迭代一次，这样建立的预测 — 校正系统称作改进的尤拉公式。

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24 尤拉两步公式

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27 §3. 龙格 — 库塔方法 一、 Runge-Kutta 法的基本思想（ 1 ）

28 Runge-Kutta 法的基本思想（ 2 ）

29 二、二阶龙格－库塔方法

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32 三、三阶龙格－库塔方法

33 四、四阶龙格－库塔方法

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36 五、变步长的龙格 — 库塔方法

37 R-K 方法的绝对稳定区域

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42 §4. 线性多步法

43 线性多步公式的导出

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49 二、常用的线性多步公式

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51 利用数值积分方法求线性多步公式

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58 §5. 预测 — 校正系统 用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正， 得到近似值 y n+1 这样一组计算公式称为预测 — 校正系统。 一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预 测 — 校正系统有两种：

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60 用局部截断误差进一步修正预测－校正公式

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65 §5. 常微分方程组与高阶方程的数值解

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69 2) 方程组的 R-k 法

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71 二、化高阶方程为一阶方程组

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