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§1.2 §1.2随机事件的概率
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0≤P(A)≤1 用一个数来度量可能性的大小。这个 数应该是事件本身所固有的，可以在相同 的条件下通过大量的重复试验予以识别和 检验；可能性大的事件用较大的数来度量， 可能性小的事件用较小的数来度量。这个 用来度量可能性大小的数称为事件的概率， 用 P(A) 表示。 一、可能性大小的度量 —— 事件的概率
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（一）频率的定义 二、频率（经验概率） —— 概率的统计定义
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设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 （二）性质
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试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 22 25 21 25 24 18 27 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0. 502 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、 50 次、 500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 波动最小 随 n 的增大, 频率 f 呈现出稳定性
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(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大, 频率 f 呈现出稳定性. 即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性, 即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同 ;
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实验者 德 摩根 蒲 丰蒲 丰 204810610.5181 404020480.5069 1200060190.5016 24000120120.5005
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重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于区间 [0 ， 1] 上的某一个稳定值，这 个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性 的大小．它就是事件的概率，也叫做经验概率．
![重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于区间 [0 ， 1] 上的某一个稳定值，这 个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性 的大小．它就是事件的概率，也叫做经验概率．](http://images.slidesplayer.com/40/11096228/slides/slide_9.jpg "重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于区间 [0 ， 1] 上的某一个稳定值，这 个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性 的大小．它就是事件的概率，也叫做经验概率．")
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三、古典概型 — 概率的古典定义
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用 i 表示取到 i 号 球， i =1,2,…,10. 称这样一类随机试验 为古典概型. 2 且每个样本点 ( 或者说 基本事件 ) 出现的可能 性相同. S={1,2,…,10}, 如 i =2 23 4 7 9 10 8 6 1 5
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称这种试验为 有限等可能随机试验 或古典概型. 定义 1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
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对于古典概型，其样本空间 S(Ω) 由 n 个样本点组成，事件 A 包含 k 个样本点， 则定义事件 A 的概率为：
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排列与组合是计算古典概率的重要工具 ： 下面这个结论对吗？ 抛掷两枚均匀硬币, 观察正、反面出现的情况。 数学家达郎贝尔说共有三种情况 : { 正、正 } ， { 反、反 } ， { 一正、一反 } ； 从而： P{ 一正、一反 }=1/3.
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古典概型的基本模型 : 摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题 1 设袋中有 4 只白球和 2 只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出 2 只球, 求这 2 只球都是白球的概率. 解 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为
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(2) 有放回地摸球 问题 2 设袋中有 4 只红球和 6 只黑球, 现从袋中有放 回地摸球 3 次, 求前 2 次摸到黑球、第 3 次摸到红球 的概率. 解 第 1 次摸球 10 种第 2 次摸球 10 种第 3 次摸球 10 种 6种6种第 1 次摸到黑球 6种6种 第 2 次摸到黑球 4种4种 第 3 次摸到红球
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基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 课堂练习 1 o 电话号码问题 在 7 位数的电话号码中, 第一位 不能为 0 ，求数字 0 出现 3 次的概率. 2 o 骰子问题 掷 3 颗均匀骰子, 求点数之和为 4 的 概率.
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古典概型的基本模型 : 球放入杯子模型 (1) 杯子容量无限 问题 1 把 4 个球放到 3 个杯子中去, 求第 1 、 2 个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球. 4 个球放到 3 个杯子的所有放法
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因此第 1 、 2 个杯子中各有两个球的概率为
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(2) 每个杯子只能放一个球 问题 2 把 4 个球放到 10 个杯子中去, 每个杯子只能 放一个球, 求第 1 至第 4 个杯子各放一个球的概率. 解 第 1 至第 4 个杯子各放一个球的概率为
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2 o 生日问题 某班有 20 个学生都是同一年出生 的, 求有 10 个学生生日是 1 月 1 日, 另外 10 个学生生 日是 12 月 31 日的概率. 课堂练习 1 o 分房问题 将张三、李四、王五 3 人等可能地 分配到 3 间房中去, 试求每个房间恰有 1 人的概率.
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解 典型例题
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在 N 件产品中抽取 n 件, 其中恰有 k 件次品的取法 共有 于是所求的概率为 解 在 N 件产品中抽取 n 件的所有可能取法共有
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例 3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的, 即都等于 1/365, 求 64 个人中至少 有 2 人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为 故 64 个人中至少有 2 人生日相同的概率为 解
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说明
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利用软件包进行数值计算.
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四、 几何概型 — 概率的几何定义 例 甲、乙二人在 0 到 T 时间内相约于指定地点，先 到者等候另一人 t(t<T) 时刻后离去。如果两人在任一 时刻到达是等可能的。求二人能会面的概率？ (1) 它的样本空间具有无限个样本点. (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称具有此特点的无限等可能试验为几何概型.
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对于几何概型，则只能以等可能性为基础，借 助于几何度量（长度、面积和体积等）来合理的规 定概率。具体如下： 事件 A 的样本点构成区域 g ，样本空间构成区域 G ，这里的区域可以是一维、二维、三维等等，则 A 发生的概率定义为： 概率的几何定义。 静态的几何度量 “ 比例 ” 转化为动态的 “ 概率 ”
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例 1 ：求引例的概率。 解：以 x 、 y 分别表示甲、乙二人到达的时刻。则 从而，所求概率为
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蒲丰投针试验 例 2 1777 年, 法国科学家蒲丰 (Buffon) 提 出了投针试验问题. 平面上画有等距离为 a(a>0) 的一些平行直线, 现向此平面任意 投掷一根长为 b( b<a ) 的针, 试求针与某一平行直线 相交的概率. 解
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由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.
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蒲丰投针试验的应用及意义
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历史上一些学者的计算结果 ( 直线距离 a=1) 3.17958592520 0.541 9 1925Reina 3.1415929 180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860 De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81850Wolf 相交次数投掷次数针长时间试验者
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1933 年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫. 五、概率公理 — 概率的数学定义
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(1) 0 p(A) 1 (2) p(s) = 1 p( )=0 (3) 若事件 互不相容，则 p(A 1 A 2 …..) = p(A 1 )+p(A 2 )+…… (1)—(3) 称为概率公理。 设 E 是随机试验； S 是样本空间； p(A) 为事件的概 率, 且满足： 此即为概率的公理化定义。
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2. 最简单的随机现象 古典概型 古典概率 几何概型 试验结果 连续无穷 六、小结 1. 频率 ( 波动 ) 概率 ( 稳定 ). 3. 概率的公理化定义.
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