概率统计（ ZYH ） 1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型 二、几何概型. 概率统计（ ZYH ） 回忆 1.1 节的试验， E 1,E 3,E 4 有共同特性： 一、古典概型 ①（有限性）试验的样本空间 Ω 中仅含有限个样本点： ②（等可能性）每个基本事件 {ω i } 发生的可能性相同 :

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1 概率统计（ ZYH ） 1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型 二、几何概型

2 概率统计（ ZYH ） 回忆 1.1 节的试验， E 1,E 3,E 4 有共同特性： 一、古典概型 ①（有限性）试验的样本空间 Ω 中仅含有限个样本点： ②（等可能性）每个基本事件 {ω i } 发生的可能性相同 : 具有以上两个特性的试验大量存在. 我们把满足上述 两个特性的试验称为等可能试验. 这种试验是概率论发展 初期研究的主要对象, 被称为古典概型.

3 概率统计（ ZYH ） 设 Ω 是等可能试验 E 的样本空间, 它包含 n 个样本 点, A 为 E 的包含 k 个样本点的随机事件, 则事件 A 的概率为 称此公式为古典概型的概率计算公式 ( 或定义 ) 定理 1 证 由知 所以 从而

4 概率统计（ ZYH ） 排列：从 n 个不同元素中任取 m 个排成一列, 其不同的 古典概型计算所需的知识： 组合：从 n 个不同元素中任取 m 个组成一组, 其不同的 排列 数为 加法原理：做一件事件有 k 类做法，第 i 类有 n i 种做 法，则总共有 n 1 +n 2 +···+n k 种不同的做法. 乘法原理：做一件事件有 k 个阶段，第 i 个阶段有 n i 种 做法，则总共有 n 1 ·n 2 ···n k 种不同的做法. 组合 数为

5 概率统计（ ZYH ） 古典概型举例 例 1 袋内有 3 个白球和 2 个黑球, 现从袋中任取 2 个球, 求取出的 2 个球都是白球的概率. 解 参看第 1 节例 1 ，若按 (a) 法理解，则不是古典概型， 不会计算；若按 (b) 法理解，则是古典概型，这时样本空间 的样本点数为 10 ，而事件 所包含的样本点有 3 个，故所求概率为 (1) 抽球问题

6 概率统计（ ZYH ） 袋内有 a 个白球与 b 个黑球, 现从袋中任取 α+β 个球, 求取出的球恰好有 α 个白球与 β 个黑球的概率. 解 这是例 1 的一般情形, 这时样本点总数为 故所求概率为 取出的球恰好有 α 个白球与 β 个黑球的事件所包含 的样本点个数为 12···β12 α 注：其中的 “ 白球, 黑球 ” 可换作 “ 甲物, 乙物 ” 或 “ 合格品, 次品 ” 例2例2

7 概率统计（ ZYH ） 袋内有 a 个白球与 b 个黑球, 每次从袋中任取一个 球, 取出的球不再放回去, 接连取 k (k≤a+b) 个球, 求第 k 次 取得的是白球的概率. 解 这时取球是有顺序的, 样本点总数为 故所求概率为 取自 a 个白球, 有 a 种取法, 球, 其取法种数为 12···k ( 抽签原理 ) 例3例3, 第 k 个球 其余 k - 1 个球取自其它 a+b-1 个

8 概率统计（ ZYH ） 抓格填数 例 4 从 1,2,···,10 共 10 个数字中任取 7 个（可以重复）， 求下列各事件的概率： A ：取出的 7 个数字全不相同； B ：取出的 7 个数字中不含 1 与 10 ； C ：取出的 7 个数字中恰好出现两次 10. 解 (2) 随机取数问题 12···7

9 概率统计（ ZYH ） 抓人分房 例 5 有 n 个人, 每个人都以同样的概率 1/N 被分配在 N(n≤N) 间房中的每一间, 求下列各事件的概率： A ：某指定 n 间房中各有 1 人 ； B ：恰有 n 间房, 其中各有 1 人； C ：某指定房间中恰有 m(m≤n) 人. 解 (3) 分房问题 12···N

10 概率统计（ ZYH ） 分房问题的演变 : 在上述分房问题中，若令 N=365,n=30,m=2, 则可演化为 生日问题. 即对一个含 30 人的班级, 有下面结果： (1) 在某指定 30 天, 每天恰有一学生生日的概率为 (2) 全班生日各不相同的概率为 (3) 某指定日恰为某二人生日的概率为 由 (2) 知, 在全班 30 人中至少有 2 人 生日相同的概率为

11 概率统计（ ZYH ） 把 4 个球放到 3 个杯子中去, 求第 1,2 个杯子 中各有两个球的概率 p, 其中假设每个杯子可放任意多个球. 球入杯问题 这可看作分房问题 任取一个两位数, 求这个数能被 2 或 3 整除的概率 ? 解 设 A 为事件 “ 取到的数能被 2 整除 ”, B 为事件 “ 取到的 数能被 3 整除 ” ，则所求概率为 例6例6

12 概率统计（ ZYH ） 二、几何概型 ①（按测度的有限性）试验的样本空间 Ω 中是可测的, 且测度 m(Ω) 有限： ②（按测度等可能性）同测度的事件发生的可能性相 同, 即 具有以上两个特性的试验大量存在. 我们把满足上述两个 特性的试验称为按测度等可能试验. 这种试验在概率论发展 史上也是主要的研究对象, 由于它与试验的几何特征有关， 故被称为几何概型. 回忆 1.1 节的试验， E 7, E 8 的共同特性是：

13 概率统计（ ZYH ） 设 E 是按测度等可能试验, m(·) 是相应的测度函 数, 则事件 A 的概率为 定理 2 称此公式为几何概型的概率计算公式 ( 或定义 ) 类似于古典概率计算公式的推导, 也可以推得 注：这里所说的测度是对几何图形大小的一种度 量．通常情况下，杆的测度就是杆的长度，平面图形的测 度就是平面图形的面积，空间物体的测度就是物体的体积， 曲线的测度就是曲线的弧长．

14 概率统计（ ZYH ） 那末 两人会面的充要条件为 例 7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点 会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( t<T ) 后离去. 设每 人在 0 到 T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的, 且两人 到达的时刻互不牵连. 求甲、乙两人能会面的概率. 解 会面问题 若以 x, y 表示平面上点的坐标, 则 由几何概率知, 所求的概率为

15 概率统计（ ZYH ） 甲、乙两人约定在下午 1 时到 2 时之间到某站乘 公共汽车, 又这段时间内有四班公共汽车, 它们的开车时刻 分别为 1:15, 1:30, 1:45, 2:00. 假定甲、乙两人到达车站的 时刻是互相不牵连的, 且每人 例8例8 在 1 时到 2 时的任何时刻到 达车站是等可能的. 如果它 们约定见车就乘 ; 求下列事 件的概率 A ：两人同乘一车 B ：两人同时到达车站

16 概率统计（ ZYH ） 设 x, y 分别为甲、乙两人到达的时刻, 则 解 故 不可能事件的概率为 0 ，概率为 0 的事件未必是不可能事件 注意：