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立体几何与解析几何复习 的几点思考 陈昭亮 QQ： 手机:
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一.全国新课标高考实施进程 二.近年几何试题特点 三、考纲解读及题型举例 四、复习中的几点思考
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一.全国新课标高考实施进程 2003年国家教育部制订《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）。 2004年部分省份首先进入新课改试点。 2007年新课程高考开始在山东、广东、海南、宁夏四省试行。 2008年加入江苏。 2009年天津、浙江、辽宁、福建、安徽。 2010年北京、湖南、黑龙江、吉林、陕西。 2011年江西、河南、山西、新疆。 2012年湖北、河北、内蒙古、云南。 2013全国内地(除广西外)所有省份将全面进入新课程高考。
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2014年9月3日，《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》印发，新一轮的高考改革开始了。
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二、 近三年几何试题特点 1.立体几何试题分布及试题特点
立体几何在高考试卷中基本上稳定在两道试题，一小一大，共计17分.小题主要以三视图为载体，考查学生的空间想象能力，考查学生对常见几何体及其组合体的面积与体积的计算，属于容易题.大题主要考查的是空间的平行、垂直的判定与性质，空间角与空间距离，往往借助空间向量进行处理，难度中等.
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2.解析几何试题分布及试题特点 解析几何在高考试卷中有两至三道试题，小题两道，大题一道，总分22分.小题主要考查直线、圆的方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线的标准方程及简单几何性质，属于容易题.大题主要通过直线与圆、直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想.常涉及到轨迹与方程问题、范围与最值问题、定值与定位问题、探索性问题等，难度较大.
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三、考纲解读及题型举例 1．空间几何体 （1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示 的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图． （3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直 观图，了解空间图形的不同表示形式． （4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
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题型1：三视图
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规律总结 新教材中对立体几何的定位是培养学生的空间想象力，训练学生的空间感.三视图是培养这一数学能力的很好素材，所以三视图的内容几乎年年都在考查．考试内容主要围绕着简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合），从实物图到三视图，或由三视图到实物图，定性或定量地研究图形的形状、几何体的表面积、体积等问题．尤其值得注意的是对于从正方体、正四面体、球体等常见几何体中挖切出来的几何体，要能将其还原至这些典型的几何体中，要主动掌握 “能割善补”的几何方法，体会局部与整体的几何关系.
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2．点、直线、平面之间的位置关系 （1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下 可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线在此平面内． ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． ◆定理：空间中如果一个角的两条边与另一个角的两边分 别对应平行，那么这两个角相等或互补．
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题型2：点线面的基本关系
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自然语言、符号语言、图形语言
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规律总结 新教材改变了传统立体几何的“公理化方法”，删除了对大部分定理的证明.以长方体为载体，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解线、面关系的有关定理.以生活中的具体物体为载体，理解空间中点、线、面的位置关系,了解四个公理及其推论;空间两条直线的三种位置关系及其判定;异面直线的定义.此类问题在高考中主要以选择题或填空题的形式呈现, 也可以结合四种命题或充要条件来进行考查.
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（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识
和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理． 理解以下判定定理： ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么 该直线与此平面平行． ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行， 那么这两个平面平行． ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那 么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面 互相垂直．
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理解以下性质定理，并能够证明： ◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一 个平面与此平面的交线与该直线平行． ◆如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那么它们的 交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直． （3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置 关系的简单命题．
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题型3：空间中的平行关系与垂直关系 试题来源：直接来自教材《选修2-1》
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题型3：空间中的平行关系与垂直关系
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阅卷中的问题： 1.直线与平面平行的书写格式； 2.证明平面与平面的平行问题，使用命题：若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。
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规律总结 此类问题在近年高考试卷中主要出现在立体几何解答题 的第(1)小问中.有关平行与垂直的证明问题,若利用几何法
证明，则线面平行、面面平行的证明问题, 其中线面平行 的证明问题是关键；线线垂直、线面垂直、面面垂直的证 明问题, 其中线线垂直与线面垂直问题是关键.若利用空间 向量证明，则直线的方向向量、平面的法向量的确定是关 键.
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学生问题1： 对面面垂直的判定和性质掌握的不好，使用的不熟练。
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学生问题2： 对非常规放置的几何体认识不到位，性质使用的不熟练。
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题型4：球的切接问题 1.正方体和球 2.长方体和球 3.正四面体和球
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（2012辽宁理16） 已知正三棱锥 P-ABC，点P，A，B，C都在半径为 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________.
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（2012新课程文8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为 ，则此球的体积为
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3.空间向量与立体几何 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其 意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. （3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数 量积判断向量的共线和垂直. （4）理解直线的方向向量及平面的法向量. （5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关 系. （6）能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一 些简单定理（包括三垂线定理）. （7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与 平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中 的应用.
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题型5：利用空间向量计算角和距离问题
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规律总结 空间中的角主要包括线线角、线面角、面面角，利用向量 来处理关键在于求直线的方向向量与平面的法向量.
空间中的距离主要包括点点距离、点线距离、点面距离、 线线距离、线面距离和面面距离,其中点点距离、点线距离和 点面距离是重点,其余几类均可以转化为以上三种.
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与立体几何有关的创新题 1.与计数问题结合 例1 在四面体的四个顶点及六条棱的中点共10个点中，任取四个点，则四点不共面的组数有（ ）
例1 在四面体的四个顶点及六条棱的中点共10个点中，任取四个点，则四点不共面的组数有（ ） A B C D.144 例2 连接正三棱柱的顶点， 可以形成多少对异面直线？
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2.与轨迹有关的问题
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3.点P是正方体ABCD-EFGH的底面上的动点，且点P到棱DH的距离等于到直线AB的距离，则点P在底面上的轨迹是
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1．直线与方程 （1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线 位置的几何要素． （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的 直线斜率的计算公式． （3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂 直． （4）掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式和一 般式），了解斜截式与一次函数的关系． （5）能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标． （6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式， 会求两条平行直线间的距离．
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题型1：直线的方程与直线间的位置关系
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规律总结 直线的方程、两直线的位置关系、距离问题一直是高考考查的热点问题.单纯考查直线的知识一般在选择题、填空题中出现；直线和其他知识的交汇问题一般出现在解答题中，有一定的难度．
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2．圆与方程 （1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一 般方程． （2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置 关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系． （3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． （4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 3．空间直角坐标系 （1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点 的位置． （2）会推导空间两点间的距离公式．
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题型2：直线与圆的位置关系
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规律总结 在选择题、填空题中考查圆方程的求解，直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，特别是含参数的位置关系问题仍将是考查的重点和热点．而在解答题中，则有可能考查以圆为背景的综合试题，特别是圆与圆锥曲线的整合问题．
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3.圆锥曲线 （1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程 及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）. （3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道 它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近 线）. （4）了解曲线与方程的对应关系. （5）理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. （6）理解数形结合的思想. （7）了解圆锥曲线的简单应用.
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题型3：圆锥曲线的标准方程及简单几何性质
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O x y A B F1 F2
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规律总结 在选择题、填空题中考查圆锥曲线的定义及标准方程，圆锥曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．对数形结合，转化与化归及方程思想的要求比较高.
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另解：数形结合
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解：分别画出y=log2(-x) 和y=x+1的图像
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题型4：直线与圆锥曲线的位置关系（轨迹方程问题）
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规律总结 求曲线的轨迹方程体现了数形结合的数学思想，是解析几何的核心，也是近几年来高考的热点.常涉及的方法有：
1.坐标法； 2.定义法； 3.代入法； 4.几何法； 5.参数法； 6.交轨法.
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题型5：直线与圆锥曲线的位置关系（范围与最值问题）
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例4设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直线l:4x-3y-8=0的
距离d最小，求点M的坐标及距离d的最小值. 方法一 设点M（m,m2）,
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方法二设过点M平行于直线l与抛物线相切的
直线方程为4x-3y+b=0,则 整理得3x2-4x-b=0, 由题意可知Δ=42+12b=0,
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方法三 如图所示,若想使抛物线上的点到直线l的距离最小，只需抛物线在点M处的切线与直线l平行即可,因为直线l的斜率为 ,抛物线的导数为y′=2x,
【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设出抛物线 上动点的坐标，利用二次函数求最值，是 解决距离问题的重要 方法；而利用直线平行求距离 也是常规方法;利用导数求切线的 斜率也是十分简 单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想 的应用,注意体会.
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练习 解析: 有最大截 相切时, 距与截距。 由图形知,当直线 与椭圆
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规律总结 对于求曲线方程中参数的取值范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求出参数的取值范围，或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域问题求解.
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题型6：直线与圆锥曲线的位置关系（定值定位问题）
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规律总结 定值、定点问题是指曲线变化或参数值变化时，某一个量不变或某一个点不变，解决的方法都是用参数把有关量表示出来，进行化简变形得出要求的定值．这类问题考查的是代数运算能力． 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,设该直线（曲线）上两点的坐标,利用坐标在直线（或曲线）上,建立点的坐标满足的方程（组）,求出相应的直线（或曲线）,然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.
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题型7：直线与圆锥曲线的位置关系（探索性问题）
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x A y 1 2 M N B O
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规律总结 探索性问题往往是对轨迹问题，范围与最值问题，定值与定位问题等的再现，是以一种开放的方式进行设问.解决好这类问题要善于转化矛盾，将探索性问题转化为前面几类问题. 解答圆锥曲线综合问题时应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程，函数等），再结合其他知识解答，要重视函数与方程思想、等价转化思想的应用.
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解圆锥曲线问题应注意以下要点： ①有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结 合； ②有关弦长问题，应注意运用弦长公式和根与系数关系， 设而不求，有关焦点弦长问题，要重视简化运算； ③有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系及向量关系， 设而不求，整体处理； ④有关定位、定值问题，要明确算理，将变化中的变量及 常量设法表示出来，同时要有由特殊位置及特殊值探索的意识.
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三、复习中的几点思考 1.研究考纲，分析试题 我们必须严肃地研读课标，因为它体现了国家的期望，但是，只有高于课标，才可能准确地领悟课标 。
我们必须虔诚地尊重课本，因为它凝聚了前人的心血，但是，我们只有高于课本，才可能真正地读懂课本。 我们必须认真地对待高考，因为它代表了社会的公信，但是，只有高于高考，才有可能有效地赢得高考。 —华东师大教授聂幼犁 120
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高考命题的依据 高考命题的依据是《考试说明》.但最根本的依据是教材. 考试大纲 课程标准 考试说明
教材是课程的载体和具体化,是高考中、低档试题的直接来源， 因此,高考命题最根本的依据是教材. 试题考什么?依据《考试说明》制定. 试题内容怎么呈现?依据教材.
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2.发现问题，有效应对 （1）“三基”掌握不到位，认知结构不完善； ①基础知识不扎实，基本概念模糊不清; ②常用公式记忆不准确;
③基本技能和基本方法掌握不到位. （2）思维不严谨，解答不规范； ①思维不严谨，答题不规范; ②缺少主要解题过程.
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启示： （3）能力不足，审题不清，会而不对，对而不全． ①运算能力差； ②算理不清，会而不对，对而不全.
（1）养成画图习惯（画图可以帮助打开思路）； （2）锻炼运算能力； （3）重视算理，保证运算有效.
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3.回归教材，挖掘本质 新课程数学教材为了适应知识的螺旋上升的规律，同一知识体系的内容会放在不同模块中去介绍.高三复习时应打破模块顺序，按照学科内的知识体系，将分散在必修课程与选修课程的同一知识体系的内容进行整合，建立条理化的知识结构.
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教材是最基本而又最重要的课程资源，体现《课标》的基本要求，也凝聚了众多编写者对教育的认识、对数学的理解，是教师教和学生学的主要依据。课标教材给教师很大的研读空间，也带来很大的挑战。教师只有了解所要教学的内容在整个知识体系中的地位和作用，领会教材的编写特点和编写意图，抓住教学内容的重点、难点和关键点，发掘教学内容背后所承载的数学思想和文化，才能用好教材，引来有效教学的源头活水。正如全国著名特级教师窦桂梅所说：“一个教师的解读能走多远，他学生的理解就能走多远。教师的深度解读，会让教学指向意义探究性的，甚至是建构性的高度。” 读懂教材，读懂学生
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135 函数 函数基本概念 抽象函数 具体函数 无解析式有图像 无解析式无图像 函数的定义 函数的性质 函数的图象 函数的应用 极值 最值
零点 核心思维方法 用基本概念指导研究函数性质 用函数图象指导研究函数性质 用导数方法指导研究函数性质 函数与其它知识的联系 函数与方程 函数与不等式 函数与数列 函数与解析几何 转化或构造函数 简单函数 复杂函数 两个简单函数的和差 两个简单函数的积商 两个简单函数的复合 分段函数 一次函数 二次函数 反比例型函数 三角函数 幂函数 对数函数 指数函数 核心基础知识 定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 基本图象 图象变换 135
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启示： 三抓： （1）抓基本概念的准确和实质性的理解； （2）抓公式、定理的熟练和初步应用；
（3）抓基本技能的正用、逆用、变用、连用、巧用. 四过关： （1）能准确理解书中的任一概念； （2）能独立证明书中的每一定理； （3）能熟练求解书中的所有例题； （4）能历数书中各单元的作业类型.
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点评 本题把函数、导数、数列融合，体现高考试题，不断寻求知识的新组合的特点．解题过程首先逾越的是求取切线方程，求取横截距，然后逐层深入、突破，才能得出等差数列、等比数列，最终顺利完成求关系与求和．题目难度不大，但能很好考查考生对导数及几何意义、距离的计算，数列的识别与应用等基础知识．本题出题隐蔽性好，迷惑性高，不少考生无法看出此题本质是一道数列题．
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试题来源：《数学1》第四章第二节“函数应用”问题3
教材是中低档试题的直接来源 试题来源：《数学1》第四章第二节“函数应用”问题3
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3.教材是中低档试题的直接来源 试题来源：直接来自教材《选修2-1》第三章阅读材料2，及习题3-4 A组第7题
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3.教材是中低档试题的直接来源 试题来源：直接来自教材《数学3》第一章统计
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3.教材是中低档试题的直接来源 试题来源：直接来自教材 《数学3》第三章阅读材料： 用模拟方法估计圆周率∏的值
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试题来源：直接来自教材《选修2-1》
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试题来源：直接来自教材《数学5》
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4.及时沟通，抓好落实 （1）了解学生的真实状况,要“眼中有人”。 ②心理状况. （2）抓好落实与反馈，要突出“有效性”.
①学习状况； ②心理状况. （2）抓好落实与反馈，要突出“有效性”. ①抓好练习，区别“练习”与“模拟题”； ②抓好批改与反馈，尝试进行“面批”等
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措施一：分层次布置作业就是根据学生的学科基础知识、学习能力的差异和提高学习效率的要求，结合课程内容和学生学习的可能性，按新课标所要达到的基本目标、中级目标、发展目标这三个层次的教学要求，将学生作业依次分为A、B、C三个层次。
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4.践行有效课堂，促进专业成长 有效教学起源于二十世纪上半叶西方的教学科学化运动，源于“教学是艺术还是科学”的争论与共识．
有效性包括： ①有效果 ②有效率 ③有效益
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教师专业成长的阶段 高级新手水平 胜任水平 新手水平 熟练水平 专家水平 明确教学目标与内容； 明确教学实践的助词；
较强的自信心，但教学技能没有自动化。 高级新手水平 两三年教龄； 获得教学策略、教学事件知识； 教学活动带有盲目性与偶然性。 胜任水平 新手水平 刚毕业师范生； 学习一般教学原理、教育方法； 熟悉教学步骤。 熟练水平 以直觉做出反应； 轻松流畅地完成任务； 对不同的教学情境，灵活采取不同处理方式。 对课堂的敏锐观察力； 教学模式识别能力； 及时调整教学计划； 有效控制教学活动。 专家水平
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顾泠沅（上海教科院） 名师的产生是追求卓越的结果. (人师) 教学境界 (能师) 教学模式 (经师) 教学技能
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华东师大叶澜教授认为一节好课要做到“五实”：
扎实的课、充实的课、丰实的课、平实的课、真实的课。 扎实的课： 扎实的课就是有意义的课，学生至少能学到东西，有情感体验，产生学习需求，不图表面的热闹。 充实的课 充实的课就是有效率、有内容的课，让不同层次的学生都学有所得。 丰实的课 丰实的课就是生成性的课，不完全是预设的结果，内容丰富，师生互动，思维活跃，给人启发。
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平实的课 平实的课就是课堂的实实在在，是常态下的课，不管谁在听课，教师都要做到旁若无人，心中只有学生。 真实的课 真实的课就是不加粉饰，有待完善、值得反思的课，它不能十全十美，“只要是真实的，就是有缺憾的。” 这样的课，需要炉火纯青的教育艺术，如果不 打磨是绝对不可能随便出炉的，可谓“十年磨一剑 ”。
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俞正强把教师的专业发展大致分为四个阶段：
第一，读懂规则期。模仿 第二，读懂教材期。会备课。 第三，读懂学生期。能依学而教。（其实学不来的是我们对于学生的感觉，那感觉怎么来的，是时间泡出来的） 第四，读懂自己。这叫修养，修一个人的人品，所以到最后课就是人，人就是课。我们不要着急，每一个人都是一粒种子，都会慢慢地成长为一个伟大的教师。
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华南师范大学刘华良教授认为：有关主动学习最恰当的教育隐喻是“学走路”、“学游戏”。
课堂教学一定要想办法学生让学生深度参与，并且要重视课堂生成，给学生话语权。 教师上好一堂课要作毕生的准备。（《苏霍姆林斯基选集（四）》第663页） 刘华良教授认为备课有三种形式： 一是吃透教材、 二是补充教材、 三是更新教材。（案例 历史课）
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罗增儒教授认为，“有效教学”的主战场在课堂，关键是“高效课堂”，是一节一节课的高效能．他提出提高课堂的效率、效果、效益有两个基本的努力：
①教育努力——增强课堂教学的艺术因素． ②学科努力——开发学科内在的教育元素． 案例 当老师迟到的时候 案例 二分法求方程的近似解
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“用心地读懂学生，专业地读懂教材，智慧地读懂课堂”。
不专业，教材搞不懂；不用心，学生读不懂；无智慧，面对生成的课堂我们永远不知所措。因为课堂里每天都有新故事发生，课堂没有排练场，每天都是现场直播。我们要珍惜与学生交流的每一瞬间。用心、用情、用智慧真正去读懂学生。这就是教师的教育情怀与责任。
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理想的教育是无人可及的, 但教育的理想却应人皆有之. 我们不一定是思想家， 但一定要做一名思索着，
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谢谢大家！
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