勾股定理期末复习.

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1 勾股定理期末复习

2 直角三角形有哪些特殊的性质 角 直角三角形的两锐角互余。 边 直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。 C A B 符号语言： 在Rt△ABC中 a2+b2=c2 c a 面积 两种计算面积的方法。 b

3 如何判定一个三角形是直角三角形呢？ (1) (2) (3) B 符号语言： c ∵a2+b2=c2 a ∴∠C=90° A C b
有一个内角为直角的三角形是直角三角形 (2) 两个内角互余的三角形是直角三角形 (3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 C A B 符号语言： c ∵a2+b2=c2 a ∴∠C=90° 或△ABC 为Rt△ABC b

4 直角三角形判定 如果一个三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？ C A B D

5 如何判定一个三角形是直角三角形呢？ (1) (2) (3) B 符号语言： 在Rt△ABC中 a2+b2=c2 A C
有一个内角为直角的三角形是直角三角形 (2) 两个内角互余的三角形是直角三角形 (3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 C A B 符号语言： 在Rt△ABC中 a2+b2=c2 如果一个三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。 (4)

6 有四个三角形，分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和； ②三个角之比为３:４:５; ③三边长分别为７、２４、２５ ④三边之比为5:12:13 其中直角三角形有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 C

7 观察下列图形，正方形1的边长为7，则 正方形2、3、4、5的面积之和为多少？ 5 4 3 2 1 规律： S2+S3+S4+S5= S1

8 如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从 正方形１开始，以它的一边为斜边，向外作 等腰三角形，然后再以其直角边为边，分别
向外作正方形２和２′，……依此类推，若 正方形１的边长为64，则正方形7的边长 为 。 8 4′ 3′ 4 3 2′ 2 1

9 △ABC三边a,b,c为边向外作正方形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC 思维激活
是直角三角形吗？ A B C a b c S1 S2 S3 A C a b c S1 S2 S3 B

10 △ABC三边a,b,c，以三边为边长分别作等边三角形，若S1+S2=S3成立，则△ABC 思维激活
是直角三角形吗？ C A C a b c S1 S2 S3 S S A B B S

11 ◆已知等边三角形的边长为6,求它的面积. A D ⑴求它的高. 6 30° 6 ⑵求它的面积. 3 3 B C 6

12 1、如图，在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC的面积。
练一练 1、如图，在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC的面积。 (2)求腰AC上的高。 A D 17 17 15 8 8 B C 16

13 2、如图6，在△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的周长和面积。
9 5

14 4. 如图所示是某机械零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米)
80 60 25 24 B A C

15 10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。
G F E H 解： x2+32=(9-x)2 5 x=4 9-x=5 9-x 5 3 3 9-x x 4 1 9

16 如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将
矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部 分△BFD的面积。 42+x2=(8-x)2 A B C D F A′ 8 X=3 4 8-x 8-X=5 8-x x 5 3 S△BFD=5×4÷2=10

17 E 如图，将一根25cm长的细木棍放入长，宽高分别为8cm、6cm、和 cm的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？ C B
20 6 C B 10 D 8 A

18 建一小商店C，使之与该校A及车站D的距离相等， 求商店与车站D的距离。
4000 A B C D x 4000-x x 3000 5000 3125

19 如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间? N E 80 P 30° Q M 160 A

20 如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间? N B D E P Q M A

21 如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间? N D 60 E 60 B 80 100 P 100 30° Q M 160 A

22 D 解：设BD=xm x 30-x B 由题意可知， BC+CA=BD+DA 10 ∴DA=30-x C A 20 在Rt△ADC中，
有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴子 ，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处 ，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树 多高。 D 解：设BD=xm x 30-x B 由题意可知， BC+CA=BD+DA 10 ∴DA=30-x C A 20 在Rt△ADC中， 解得x=5 ∴树高CD=BC+BD=10+5=15(m)

23 △ABC中，周长是24，∠C=90°，且 AB=9，则三角形的面积是多少？ 解：由题意可知， C A B c a b

24 已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,
c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2 A c=10 a2+b2=102=100 a+b=14 C A B (a+b)2=142=196 c a 2ab=(a+b)2-(a2+b2) = =96 b

25 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则 三角形的面积为（ ） A、56 B、48 C、40 D、32 B A x2+82=(16-x)2 x=6 16-x 8 BC=2x=12 C B x x D

26 C2=52 a+b=? a2 +b2=52 (a-b)2=4 a2 +b2 -2ab=4 52 -2ab=4 ab=24
如图所示是2002年8月北京第24届国际数学 家大会会标“弦图”，它由4个全等的直角三 角形拼合而成。如果图中大、小正方形的面 积分别为52和4，那么一个直角三角形的两 直角边的和等于 。 10 C2=52 a+b=? a2 +b2=52 (a-b)2=4 a2 +b2 -2ab=4 52 -2ab=4 ab=24 (a+b)2=a2+b2+2ab=52+48=100

27 正方形面积与勾股定理中的a2、b2、c2的相互转化
在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置 的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个 的正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则 S1+S2+S3+S4= 。 4 3 2 1 S4 S3 S2 S1

28 直角三角形的一条直角边为9，另两边均为自然
数，则另两条边分别是多少？ 解：设所求直角三角形的斜边为x，另一直角边 为y，则 x2-y2=92 ∴(x-y)(x+y)=81 ∵x>y ∴ x+y>x-y,且x+y,x-y都为自然数 ∵ 81=1×81=3×27=9×9 或 或

29 如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，
BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。 A 3 C B 10 4 3 3 E D 2 2 2 F 4 2

30 如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B
到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B A 2 5 1 P D C 4 1 1 E A′ 4

31 CD的边长等于 。 D C E O G F M H N B A 如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，
OE、EF、FG、GH、HM、MN都是垂线，若 △AMN的面积等于1cm2，那么，正方形AB CD的边长等于 。 M N H G F E O D C B A

32 一辆装满货物的卡车2.5m高，1.6m宽，要开进 具有如图所示形状厂门的某工厂，问这辆卡车能 否通过厂门？说明你的理由。 P 1 0.6 A B O 0.8 Q 2.3 2

33 为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形
灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，如图 已知圆筒高108cm，其截面周长为36cm，如果 在表面缠绕油纸4圈，应截剪多长油纸。 45×4=180 36 108 A B C 45 27

34 如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在 其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎， B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊 子的最短距离的平方为 m2 B A B 5 5 A 6 6 4 B A 5 8 6 8 6 8 4 6

35 如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在 其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎， B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊 子的最短距离的平方为 m2 B A B 5 5 5 A 6 6 4 6 8 8

36 甲乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先 出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时 后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走， 上午10：00时，甲乙两人相距多远？ 北 解：甲走的路程： 6×(10-8)=12 (千米) 乙 甲 乙走的路程： 西 东 5×(10-9)=5 (千米) 甲、乙两人之间的距离： 南

37 x x 西宁市风景区有2个景点A、B(B位于A的正东方), 为了方便游客，风景区管理处决定在相距2千米的
AB),经测量，在点A 的北偏东60°方向、点B的 北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千米的小 水潭，问小水潭会不会影响公路的修筑，为什么？ 参考数据： C 45° x 60° A 30° 45° B D x

38 如图，已知：等腰直角△ABC中，P为斜边BC上的任一点.
求证：PB2＋PC2＝2PA2 . A D B P C

39 直角三角形两直角边长为a、b，斜边上的高为h，
则下列各式总能成立的是（ ） A、ab=h B、a2+b2=2h2 C、 D、 D