第三章 离散系统的时域分析 电子与信息工程学院 电子与信息工程学院.

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1 第三章 离散系统的时域分析 电子与信息工程学院 电子与信息工程学院

2 3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

3 3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

4 注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。
　注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。 差分与差分方程 差分方程的经典解 零输入响应和零状态响应 电子与信息工程学院

5 一、差分与差分方程 设有序列f(k)，则 …，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等 称为f(k)的移位序列。
仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式： 电子与信息工程学院

6 定义差分 （1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k)
式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： [af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k-1)] = f(k) – f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m) 电子与信息工程学院

7 2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例 差分方程的迭代解法 一般不易得到解析形式的(闭合)解。 电子与信息工程学院

8 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k)
例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) k=2 y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 k=3 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 k=4 y(4)= – 3y(3) – 2y(2) + f(4) = – 10 …… 电子与信息工程学院

9 二、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1.齐次解： 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 特征方程 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ， 即 λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 电子与信息工程学院

10 根据特征根，齐次解的两种情况 例 2.有重根 特征根λ为r重根时 例 电子与信息工程学院

11 例1：求解二阶差分方程y(k) – 5y(k – 1) + 6y(k – 2) = 0 已知y(0) =2， y(1) =1，求y(k) 。
解：特征方程 特征根 齐次解 定C1， C2 解出 电子与信息工程学院

12 例2：求差分方程y(k) + 6y(k – 1) + 12y(k – 2) +8y(k – 3) = 0的解。
解：特征方程 三重特征根 齐次解 由初始条件定C1， C2 ， C3 电子与信息工程学院

13 2.特解yp(k): 例 特解的形式与激励的形式类似 激励f(k) 响应y(k)的特解yp(k) 电子与信息工程学院

14 例：系统方程 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。 解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4 电子与信息工程学院

15 三、零输入响应和零状态响应 1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 2.零状态响应：初始状态为0，即
y(k) = yzi(k) + yzs(k) 1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 齐次解形式： C由初始状态定（相当于0-的条件） 2.零状态响应：初始状态为0，即 例1 例2 经典法：齐次解+特解 求解方法 卷积法 电子与信息工程学院

16 例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)
已知激励f(k)=2k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1 yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3 特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2 电子与信息工程学院

17 解为 yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k 将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2
yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0 （2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 电子与信息工程学院

18 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k)
分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0 电子与信息工程学院

19 解：零输入响应yzi(k)，即当f(k)=0时的解。
例2：系统的方程 求系统的零输入响应。 解：零输入响应yzi(k)，即当f(k)=0时的解。 电子与信息工程学院

20 求初始状态 题中y(0)=y(1)=0 ，是激励加上以后的，不能说明状态为0，需迭代求出 y(-1)， y(-2) 。 电子与信息工程学院

21 由初始状态确定C1，C2 解得 电子与信息工程学院

22 3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

23 一、单位序列响应 单位序列δ(k)所引起的零状态响应，记为h(k) 。 h(k)=T[{0},δ(k)] 例1 例2 电子与信息工程学院

24 例1 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。
h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) （1） h(–1) = h(–2) = 0 （1）递推求初始值h(0)和h(1)。 h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k) h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1 电子与信息工程学院

25 (2) 求h(k) 对于k >0， h(k)满足齐次方程 h(k) – h(k – 1) – 2h(k – 2) = 0 特征方程
(λ+1) (λ – 2) = 0 h(k) = C1(– 1)k + C2(2)k ， k>0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= – C1+2C2 = 1 解得C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k , k≥0 或写为 h(k) = [(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k] ε(k) 电子与信息工程学院

26 例2 系统方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) -f(k-2) 求单位序列响应h(k)。
h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性， h(k) = h1(k) – h1(k – 2) = [(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2) 电子与信息工程学院

27 3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

28 一、卷积和 1 .序列的时域分解 任意序列f(k) 可表示为
f(k)=…+f(-1)δ(k+1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1)+ f(2)δ(k-2) + … + f(i)δ(k –i) + … 电子与信息工程学院

29 卷积和 2 .任意序列作用下的零状态响应 yzs(k) f (k) 根据h(k)的定义： δ(k) h(k) 由时不变性： δ(k -i)
h(k -i) f (i) h(k-i) 由齐次性： f (i)δ(k-i) 由叠加性： ‖ ‖ f (k) yzs(k) 卷积和 电子与信息工程学院

30 3 .卷积和的定义 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和
f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。 举例 电子与信息工程学院

31 例：f (k) = a kε(k), h(k) = b kε(k) ，求yzs(k)。
解： yzs(k) = f (k) * h(k) 当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0 ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k) 电子与信息工程学院

32 二、卷积的图解法 卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为 i→得 f1(i)， f2(i)
（2）反转平移：由f2(i)反转→ f2(–i)右移k → f2(k – i) （3）乘积： f1(i) f2(k – i) （4）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 举例 电子与信息工程学院

33 例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？
f2(–i ) f2(2–i) 解： （1）换元 （2） f2(i)反转得f2(– i) （3） f2(–i)右移2得f2(2–i) （4） f1(i)乘f2(2–i) （5）求和，得f(2) = 4.5 电子与信息工程学院

34 三、不进位乘法求卷积 =…+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2)
+ … + f1(i) f2(k –i) + … f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。 如k=2时 f(2)= …+f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + … 例 f1(k) ={0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0} f2(k) ={0， f2(0) ， f2(1)，0} 电子与信息工程学院

35 不进位乘法 排成乘法 f1(1) ， f1(2) ， f1(3) f2(0) ， f2(1) ×——————————————————
f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1) f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0) + ————————————————————— f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(3) f2(1) f1(1) f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) f(k)={ 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 } 电子与信息工程学院

36 四、卷积和的性质 1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.
1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律. 2. f(k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0) 3. f(k)*ε(k) = 4. f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k) 5. [f1(k)* f2(k)] = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 举例 电子与信息工程学院

37 h1(k) = ε(k)， h2(k) = ε(k – 5)，求复合系统的单位序列响应h (k) 。
例1 复合系统中 h1(k) = ε(k)， h2(k) = ε(k – 5)，求复合系统的单位序列响应h (k) 。 解 根据h(k)的定义，有 h(k)= [δ(k)* h1(k) –δ(k)* h2(k) ]* h1(k) = [h1(k) – h2(k) ]* h1(k) = h1(k) * h1(k) –h2(k) * h1(k) = ε(k)* ε(k) – ε(k – 5) *ε(k) = (k+1)ε(k) – (k+1 – 5)ε(k – 5) = (k+1)ε(k) – (k– 4)ε(k – 5) 电子与信息工程学院

38 不进位乘法适用有限长序列卷积 yzs(k)的元素个数? 若： 例如： 举例 电子与信息工程学院

39 例 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1 求f(k) = f1(k)* f2(k)
解 3 ， 4， 0， 6 f(k) = {0，6 ，11，19，32，6，30} ↑k=1 2 ， 1 ， 5 ×———————— 15 ，20， 0， 30 3 ， 4， 0， 6 6 ，8， 0， 12 + ———————————— 6 ，11，19，32，6，30 电子与信息工程学院

40 3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

41 一、反卷积 在y(k)=f(k)*h(k)中， 若已知y(k)，h(k)，如何求f(k)（信号恢复）； 如血压计传感器。
如地震信号处理、地质勘探、考古、石油勘探等问题。 这两类问题都是求反卷积的问题。 对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散系统容易写出： 电子与信息工程学院

42 写成矩阵形式 目的反求f(k) 同理 电子与信息工程学院

43 二．举例 电子与信息工程学院

44 解：（1）求h(k) 电子与信息工程学院

45 （2） 即 电子与信息工程学院

46 以上两式相减得 系统框图 电子与信息工程学院

47 三、应用实例 雷达探测系统 电子与信息工程学院