CH 4 级数 1、复数项级数 2、幂级数 3、泰勒(Taylor)级数 4、罗朗(Laurent)级数.

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1 CH 4 级数 1、复数项级数 2、幂级数 3、泰勒(Taylor)级数 4、罗朗(Laurent)级数

2 §4.1 复数项级数 1. 复数列的极限 2. 级数的概念

3 1. 复数列的极限 定义 又设复常数： 定理1 证明

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5 例1 判断下列数列是否收敛？若收敛，求出其极限.

6 2. 级数的概念 ---无穷级数 定义 设复数列： 级数的前面n项的和 ---级数的部分和 不收敛

7 例2 解 定理2 证明

8 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 　　 两个实数项级数的收敛问题. 性质 定理3 证明

9 由定理3的证明过程，及不等式 定理4 ? 定义

10 例2 解

11 级数收敛判定： 1.正项级数收敛判定： 2.交错级数收敛判定： 3.特殊结构的级数收敛判定：

12 练习：

13 §4.2 幂级数 1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质

14 1. 幂级数的概念 设复变函数列： 定义 ---称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 ---级数的部分和

15 若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数
---级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中 称为幂级数

16 2. 收敛定理 同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理）

17 证明

18 3. 收敛圆与收敛半径 (2)用反证法， 由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：
3. 收敛圆与收敛半径 　　由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处　处收敛. (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.

19 小，在c外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错.故 显然，<  否则，级数(3)将在处发散. 将收敛部分染成红色，发散
部分染成蓝色，逐渐变大， 在c内部都是红色,逐渐变 播放

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21 定义　这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的
(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析. (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.

22 4. 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 证明

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24 定理3 (根值法)

25 定理2 (比值法) 定理3 (根值法)

26 例1 解 综上

27 例2 求下列幂级数的收敛半径

28 5. 幂级数的运算和性质 　代数运算　 ---幂级数的加、减运算 ---幂级数的乘法运算

29 ---幂级数的代换(复合)运算 幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用. 例3 解 代换

30 解 代换 展开 还原

31 　分析运算　 定理4 ---幂级数的逐项求导运算 ---幂级数的逐项积分运算

32 例4 求幂级数的和函数及收敛圆.

33 §4.3 泰勒(Taylor)级数 1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式

34 1. 泰勒(Taylor)展开定理 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数. 现在研究与此相反的问题：
一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示.

35 定理1（泰勒展开定理） D 分析： k 代入(1)得

36 D k z

37 ---(*)得证！

38 证明

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43 2. 展开式的唯一性 利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？ 结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它
结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 　　　的Taylor级数. 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:

44 由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor
级数，因而是唯一的. 函数展开成Taylor级数的方法： 　代公式 ---直接法 　由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 　 析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法

45 3. 简单初等函数的泰勒展开式 例1 解

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47 上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.
解

48 (2)由幂级数逐项求导性质得：

49 　(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负

50 练习

51 定理

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53 §4.4 罗朗(Laurent)级数 1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性

54 由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0
的某一个圆域 z - z0<R 内展开成 z - z0 的幂级数. 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1<z - z0<R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？ 例如，

55 由此推想，若f (z) 在R 1<z - z0<R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即

56 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础.

57 1. 预备知识 Cauchy 积分公式的推广到复连通域 ---见第三章第18题 D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z

58 2. 双边幂级数 ---含有正负幂项的级数 定义 形如 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分： 负幂项部分：

59 级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在
z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散.

60 z0 R2 R1 z0 R1 R2

61 (2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,

62 3. 函数展开成双边幂级数 定理

63 D z0 R1 R2 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： r R k1 k2 D1 z 记为I1 记为I2

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65 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进
行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分.

66 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为
洛朗级数的解析部分和主要部分. (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 　　 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开.

67 4. 展开式的唯一性 结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数. 事实上，
结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数. 事实上， D z0 R1 R2 c

68 D z0 R1 R2 c

69 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可
用间接法.在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系 数的方法. 例1 解

70 例2 解 例3 解

71 例4 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2

72 解: 没 有 奇 点

73

74 注意首项

75 小结：把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法：
(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式.

76 (4)根据区域判别级数方式： 在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数， 在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数.

77 y x o 1 2 例5 解 (1) 在(最大的)去心邻域

78 (2) 在(最大的)去心邻域 x o 1 2 练习：

79 (3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点：
Taylor级数先展开求R, 找出收敛域. Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远 点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成 级数.

80 本章作业 1.（2），（5）； 11.（2），（6）； 12.（2），（3）； 16.（5），（7）.