概率论与 数理统计 第二讲 §1.3,§1.4 §2.1,§2.2 §1.3,§1.4 §2.1,§2.2自考高数（二）

第一章 描述统计 统计 ⑴统计：工种，资料，学科，方法 …… 描述统计 ⑵描述统计： 描 图形 描 图形描述述 统 位置 统 位置特征 计 数字特征 计 数字特征描述 变异 变异特征

数字特征描述 位置特征 统计观测值常常有一种集中 趋势，对这种集中趋势的 量化叫位置特征。常见有 ⑴平均数 ; ⑵中位数 ; ⑶众 数。

平均数 n 个观测值 x 1,x 2,…x n 的平均数为：n 个观测值 x 1,x 2,…x n 的平均数为： 具体计算时可能用一些简化算法 : 具体计算时可能用一些简化算法 : 抽查 5 包味精重量为： 101 ， 99 ， 102 ， 98 ， 95 ，求平均每包重量： 100+ （ ） /5=99 ； 抽查 5 包味精重量为： 101 ， 99 ， 102 ， 98 ， 95 ，求平均每包重量： 100+ （ ） /5=99 ； 查验 8 支针剂重： 100.8,99.2,99.6, 100.3,99.8,100.2,99.9,100.2, 求 … 查验 8 支针剂重： 100.8,99.2,99.6, 100.3,99.8,100.2,99.9,100.2, 求 …

借助于频数 某镇一块 1000 亩粮田平均亩产为 200 公斤，另 一块 2 亩粮田平均亩产为 1703 公斤，求该镇粮 食平均亩产量。 某镇一块 1000 亩粮田平均亩产为 200 公斤，另 一块 2 亩粮田平均亩产为 1703 公斤，求该镇粮 食平均亩产量。 这叫加权平均，参看教材 P.21 例 1.2 ；一般： 这叫加权平均，参看教材 P.21 例 1.2 ；一般： 用加权平均公式 P.21 的 (1.4) 。也可用组中值。 用加权平均公式 P.21 的 (1.4) 。也可用组中值。

中位数 先将观测值 x 1,x 2,…,x n 从小到大排序为： x 1 *≤ x 2 *≤ x 3 *≤…..≤ x n * 则中位数 Md 定义为 ( 居中之值 ) ： 分组时用组中值，与体操打分的关系。

众数 n 个观测值 x 1,x 2,…x n 的众 数指出现频率最高的一 个值（可能不唯一）。n 个观测值 x 1,x 2,…x n 的众 数指出现频率最高的一 个值（可能不唯一）。 有分组时用组中值及线 性插值法，再修正。 有分组时用组中值及线 性插值法，再修正。

3 个位置特 征的关系 分对称，正偏斜，负偏斜； K.Pearson 的公式 (1.8)

变异特征 把观测值之间的差异性或分散程 度量化得到的就是变异特征。 常用的有：极差 R 平均绝对偏差 MD 平均绝对偏差 MD 样本方差 S 2 样本方差 S 2 样本标准差 S 样本标准差 S

变异特征 极差： 极差： 平均绝对偏差 : 平均绝对偏差 : 样本方差： 样本方差： 样本标准差： 样本标准差：

§2.1 随机事件 概念 概念：有如下特点的试验 ⑴试验结果有多种，所有可能的结果事先明确 ; ⑵每次试验将出现的结果事先不能准确预言； ⑶在相同条件下试验可以重复进行 。 叫随机试验，随机试验的结果叫事件。 大量试验中具有某种规律性的事件叫：随机事 件（偶然事件），用 A ， B ， C 表示。 不能分解成其它事件组合的最简单的 ( 基本 ) 事 件称为基本事件，样本点。 试验中必然发生的事件叫必然事件记作  ； 试验中必不发生的事件叫不可能事件记作 φ ；

事件与集合 请从教材第 38 页起找出下列概念： ⑴样本空间： ⑵样本点： ⑶不可能事件用什么集合表示： ⑷事件的包含： ⑸事件的等价： ⑹事件的并（和）： ⑺事件的交（积）： ⑻事件的差： ⑼互不相容的事件： ⑽对立事件： 就是必然事件 Ω 是只包含一个元素的单点集 {ω} 空集合 φ A  B ，或 B  A ，与 A  B 不加区分 注意： A=B  A  B ，且 A  B A ∪ B ，或 A+B A∩B ，或 A·B A － B ，注意：交换律？ AB＝φAB＝φAB＝φAB＝φ A ∪Ｂ＝ Ω ，且Ａ ∩B ＝ φ

频率与概率 对事件发生可能性大小的量化引入 “ 概率 ” ． 统计规律性 “ 统计规律性 ” 频数 独立重复试验总次数 n, 事件Ａ发生的频数 μ ， 频率 稳定值 事件Ａ发生的频率 F n (A)=μ ／ n,A 的频率 F n (A) 有 没有稳定值？ 如前人做过的掷硬币的试验 ( Ｐ.44 下面表 ) ； 概 率 如果有就称频率 μ n 的稳定值 p 为事件Ａ发生的概 率记作Ｐ ( Ａ ) ＝ p ［概率的统计定义］ Ｐ ( Ａ ) 是客观的，而 F n (A) 是依赖经验的。 统计中有时也用 n 很大的时候的 F n (A) 值当概率 的近似值。

概率的性质 概率， 称频率  n 的稳定值 p 为事件Ａ发生的概率，记 作Ｐ ( Ａ ) ＝ p ［概率的统计定义］ 独立重复试验总次数 n 。 Ω 频数 Ω 频率 ΩΩ 对必然事件 Ω 发生的频数 μ 有： μ= n, 事件 Ω 发 生的频率有 F n ( Ω )=μ/n=1 ，∴ P( Ω )=1 ； φ 频数 对不可能事件 φ 发生的频数 μ 有： μ=0, φ 频率 φΦ 事件 φ 发生的频率 F n ( φ )=μ/n=0 ，∴ P( Φ )=0 频数 对任一事件 A 发生的频数 μ 有： 0≤μ≤ n, 频率 事件Ａ发生的频率 F n (A)=μ/n 有： 0≤F n (A)≤1 ∴ 0≤P(A)≤1[ 非负、规范 ]

概率的古典定义 又称 “ 古典概型 ” ，请见教材第 47 页的定义 要有两个特征 : Ω ⑴样本点的个数 n 有限, 可记 : Ω ={ω 1 ω 2 …ω n } ； ⑵事件 ω 1,ω 2,…,ω n 是等可能的， P(ω i )=1/n; 其计算公式是： 注意这里 n,m 的涵义， n 不是重复试验的总次数。 而 n,m 的计算常常是排列组合的计数问题。

乘法原理、加法原理 与排列组合 从共有 n 个元素的总体中讲次序地拿 r 个叫 n 个元素中取 r 个选排列，其种数： 从共有 n 个元素的总体中不讲次序地拿 r 个 叫 n 个元素中取 r 个组合，其种数：

例题 用 “ 古典概型 ” 计算常常要用排列组合。 例. 一批产品共 200 个，内有 6 个废品。从中任取 三个，恰有一个废品的概率是多少？这三个 全不是废品的概率是多少？

概率的加法法则 如事件 A 与 B 不相容， A+B 发生的时候， A 与 B 两 者之中必定而且只能发生其中之一。 独立重复地做 n 次实验，如记事件 A 发生的频数为 μ A 、 频率为 F n (A) ，记事件 B 发生的频数为 μ B 、 频率为 F n (B) ，事件 A+B 发生的频数为 μ A+B 、 频 率为 F n (A+B) ，易知： μ A+B =μ A +μ B ， ∴ F n (A+B) = F n (A) + F n (B), 它们的稳定值也应有： P(A+B)=P(A)+P(B)

概率的加法法则 [ 加法法则 ] 如事件 A 与 B 不相容，即如 果 AB=φ ，则 P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B) 即：两个互斥事件的和的概率等于它 们的概率之和。 请想一下：如 A 与 B 不是不相容， 即相容的时候呢？进一步的研究得： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 这被人称为： “ 多退少补 ” ！

概率的三个基本属性 1 、 [ 非负性 ] ：任何事件 A ， P(A)≥0 2 、 [ 完备性 ] ： P(Ω)=1 3 、 [ 加法法则 ] 如事件 A 与 B 不相容， 即如果 AB=φ ，则 P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B) [ 教材 51 页 ] [ 教材 51 页 ]

求概率的几个公式 1 、什么叫样本空间的剖分？ [P.58] 2 、对立事件 A 的概率： P(A)=1-P(A) 3 、如 B  A 则 P(B)≥P(A) 且： P(B-A)=P(B)-P(A) 4 、如 B  A 则 A+B=B ， AB=A P(A+B)=P(B) P(A+B)=P(B) P(AB)=P(A) P(AB)=P(A)

求概率的几个例题 1 、袋中十个球分别编号： 1-10 ，袋中 一次任取两球，其编号之和为 X ，求 概率： P(X≤18) 2 、同时掷两枚骰子，所得的点数之和 为 X ，概率 P(X=5)=P(X=9) 吗？ 3 、醉汉手中有一串外观相似的钥匙 ( 共 八只 ) ，但其中只有一只是开大门的， 他只好随机地试，问他试到第三把时 门试开的概率是几？