我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为 古典概型

一、古典概型 假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分 析，我们找不到任何理由认为其中某一结果 例如 e i ， 比任一其它结果，例如 e j, 更有优势， 则我们只好认为所有结果在试验中有同等可 能的出现机会，即 1/N 的出现机会. e 1, e 2, … ， e N,

常常把这样的试验结果称为 “ 等可能的 ”. e 1, e 2, … ， e N 试验结果 你认为哪个 结果出现的 可能性大？

例如，一个袋子中装有 10 个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为 1 － 10. 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.

因为抽取时这些球是 完全平等的，我们没有理 由认为 10 个球中的某一个 会比另一个更容易取得. 也就是说， 10 个球中的任 一个被取出的机会是相等 的，均为 1/ 个球中的任一个被取 出的机会都是 1/

我们用 i 表示取到 i 号球， i =1,2,…,10. 称这样一类随机试验 为古典概型 且每个样本点 ( 或者说 基本事件 ) 出现的可能 性相同. S={1,2,…,10}, 则该试验的样本空间 如 i =2

称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型. 定义 1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.

二、古典概型中事件概率的计算 记 A={ 摸到 2 号球 } P(A)=? P(A)=1/10 记 B={ 摸到红球 } P(B)=? P(B)=6/

这里实际上是从 “ 比例 ” 转化为 “ 概率 ” 记 B={ 摸到红球 } P(B)=6/10 静态 动态 当我们要求 “ 摸到红球 ” 的概率时，只要找出它在 静态时相应的比例

这样就把求概率问题转化为计数问题. 定义 2 设试验 E 是古典概型, 其样本空间 S 由 n 个样本点组成, 事件 A 由 k 个样本点组成. 则定 义事件 A 的概率为： 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法. A 包含的样本点数 P(A) ＝ k/n ＝ S 中的样本点总数 排列组合是计算古典概率的重要工具.

请回答： 1 、怎样的一类随机试验称为古典概型？ 2 、如何计算古典概型中事件的概率？ 为什么这样计算？ 下面我们就来介绍如何计算古典概率.

基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 1. 加法原理 设完成一件事有 m 种方式， 第一种方式有 n 1 种方法， 第二种方式有 n 2 种方法, …；…； 第 m 种方式有 n m 种方法, 无论通过哪种方法都可以 完成这件事， 则完成这件事总共 有 n 1 + n 2 + … + n m 种方法.

例如，某人要从甲地到乙地去, 甲地 乙地 可以乘火车, 也可以乘轮船. 火车有两班 轮船有三班 乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法 ? 种方法回答是

基本计数原理 则完成这件事共有 种不同的方法. 2. 乘法原理 设完成一件事有 m 个步骤， 第一个步骤有 n 1 种方法， 第二个步骤有 n 2 种方法, …；…； 第 m 个步骤有 n m 种方法, 必须通过每一步骤, 才算完成这件事，

例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？ 可以有 种打扮

加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础.

三、排列、组合的几个简单公式 排列和组合的区别： 顺序不同是 不同的排列 3 把不同的钥匙的 6 种排列 而组合不管 顺序

从 3 个元素取出 2 个 的排列总数有 6 种 从 3 个元素取出 2 个 组合总数有 3 种

1 、排列 : 从 n 个不同元素取 k 个 （ 1 k n) 的不同排列总数为： k = n 时称全排列 排列、组合的几个简单公式

A B D C 例如： n=4, k =3 第 1 次选取第 2 次选取第 3 次选取 B D C B C D B D C ……

从 n 个不同元素取 k 个（允许重复） （ 1 k n) 的不同排列总数为： 例如：从装有 4 张卡片的盒中 有放回地摸取 3 张 3241 n=4,k = 第1张第1张 第2张第2张 第3张第3张 4 共有 =4 3 种可能取法

2 、组合 : 从 n 个不同元素取 k 个 （ 1 k n) 的不同组合总数为： 常记作，称为组合系数。 你能证明吗？

组合系数 又常称为二项式系数，因为 它出现在下面的二项式展开的公式中： 3 、组合系数与二项式展开的关系

令 a=-1,b=1 利用该公式，可得到许多有用的组合公式： 令 a=b=1, 得

由 有 比较两边 x k 的系数，可得 运用二项式展开

4 、 n 个不同元素分为 k 组，各组元素数目 分别为 r 1,r 2, …,r k 的分法总数为 r 1 个 元素 r 2 个 元素 r k 个 元素 … n 个元素 因为

请回答： 对排列组合，我们介绍了几个计算公式？ 排列： 选排列，全排列， 下面我们就用这些公式来计算. 分组分配. 组合； 允许重复的排列 ;

四、古典概率计算举例 例 1 把 C 、 C 、 E 、 E 、 I 、 N 、 S 七个字母分 别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入 同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片 取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设 排列结果恰好拼成一个英文单词： CISNCEE 问：在多大程度上认为这样的结果 是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？

拼成英文单词 SCIENCE 的情况数为 故该结果出现的概率为： 这个概率很小，这里算出的概率有如 下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试 验，则我们所关心的事件在 1260 次试验中 大约出现 1 次. 解：七个字母的排列总数为 7 ！

这样小概率的事件在一次抽卡的试验 中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这 是魔术. 具体地说，可以 99.9% 的把握怀疑这 是魔术.

解： = 允许重复的排列 问： 错在何处？ 例 2 某城市的电话号码由 5 个数字组成，每个 数字可能是从 这十个数字中的任一个，求电 话号码由五个不同数字组成的概率. 计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同. 从 10 个不同数字中 取 5 个的排列

例 3 设有 N 件产品, 其中有 M 件次品, 现从这 N 件中任取 n 件, 求其中恰有 k 件次品的概率. 这是一种无放回抽样. 解：令 B={ 恰有 k 件次品 } P(B)= ？ 次品 正品 …… M 件 次品 N-M 件 正品

解：把 2n 只鞋分成 n 堆, 每堆 2 只的 分法总数为 而出现事件 A 的分法数为 n!, 故 例 4 n 双相异的鞋共 2n 只，随机地分成 n 堆， 每堆 2 只. 问 :“ 各堆都自成一双鞋 ”( 事件 A) 的 概率是多少？

分球入箱问题 请看下面的演示 以球、箱模型为例给出一类常见的 古典概型中的概率计算

“ 等可能性 ” 是一种假设，在实际应用中， 我们需要根据实际情况去判断是否可以认为 各基本事件或样本点是等可能的. 1 、在应用古典概型时必须注意 “ 等可能性 ” 的 条件. 需要注意的是：

在许多场合，由对称性和均衡性，我 们就可以认为基本事件是等可能的并在此 基础上计算事件的概率.

2 、在用排列组合公式计算古典概率时，必须 注意不要重复计数，也不要遗漏. 例如：从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只 鞋子中 “ 至少有两只配成一双 ” （事件 A ）的概 率是多少？ 下面的算法错在哪里？ 错在同样的 “4 只配成 两双 ” 算了两次 从 5 双中取 1 双，从剩 下的 8 只中取 2 只

例如：从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只 鞋子中 “ 至少有两只配成一双 ” （事件 A ）的概 率是多少？ 正确的答案是： 请思考： 还有其它解法吗？ 2 、在用排列组合公式计算古典概率时，必须 注意不要重复计数，也不要遗漏.

3 、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型： 有 n 个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n) 被分在 N 间房的每一间中，求指定的 n 间房中各有一人的概率. 人 房

3 、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型： 有 n 个人，设每个人的生日是任一天的概 率为 1/365. 求这 n (n ≤365) 个人的生日互不相 同的概率. 人 任一天

3 、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型： 有 n 个旅客，乘火车途经 N 个车站，设每 个人在每站下车的概率为 1/ N(N ≥ n) ，求指 定的 n 个站各有一人下车的概率. 旅客 车站

3 、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型： 某城市每周发生 7 次车祸，假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 车祸 天 你还可以举出其它例子，留作课下练习.

“ 平分赌金问题 ” 平分赌金问题 请看演示

这一讲，我们介绍了古典概型. 古典概型 虽然比较简单，但它有多方面的应用. 是常见的几种模型. 箱中摸球分球入箱 随机取数 分组分配 课下可通过作业进一步掌握.

早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 请看演示 把等可能推广到无限个样本点场合, 人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法 —— 几何方法. 几何概率

几何方法的要点是： 1 、设样本空间 S 是平面上某个区域，它的 面积记为 μ( S ) ; 2 、向区域 S 上随机投掷一点，这里 “ 随机投 掷一点 ” 的含义是指该点落入 S 内任何部分 区域内的可能性只与这部分区域的面积成 比例，而与这部分区域的位置和形状无关.

3 、设事件 A 是 S 的某个区域，它的面积为 μ( A ) ，则向区域 S 上随机投掷一点，该点落 在区域 A 的概率为 （*）（*） 4 、假如样本空间 S 可用一线段，或空间中某 个区域表示，并且向 S 上随机投掷一点的含义 如前述，则事件 A 的概率仍可用（ * ）式确定， 只不过把 理解为长度或体积即可.

请看演示 会面问题

实际上，许多随机试验的结果并不都 是有限个，而且，即使是有限个，也未必 是等可能的. 而几何方法的正确运用，有赖于 “ 等可 能性 ” 的正确规定. 请看演示 贝特朗悖论

考虑用一个天平称物时的误差，这个 试验的结果就有无限多个，而且这些结果 也不具有前述几何概率定义中的 “ 等可能性 ”. 那么，如何知道误差落在某个范围内 的概率呢？

对于这个问题，学了下一讲后，你就能 回答了. 再如，一射手向一目标射击， “ 中靶 ” 与 “ 脱靶 ” 一般不是等可能的，那么，又如何知 道他中靶的概率呢？